动态树(Link-Cut-Tree)简单总结(指针版本)

Link-Cut-Tree(动态树 LCT)

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1.定义

1. 偏爱子节点: 一颗子树内最后访问的点若在该子树根节点 X 的某个儿子节点 P 的子树中，则称 P 为 X 的偏爱子节点。

2. 偏爱边:连向偏爱子节点的边。

3. 偏爱路径:一条全为偏爱边构成的路径(一定是一条链，类似于树链剖分的重链)

4. 每一条偏爱路径(以下直接写做重链)都由一棵Splay来进行维护.

注意:

1. LCT不一定是二叉树。
2. 若 p->fa==NULL 则p为其所在 LCT 的树根
   
   3. Splay -> 路径（且一定是树上的一条链）
   
   4. LCT -> 一棵树(由多棵Splay构成的森林)
   
   5. 整张图 -> 多棵 LCT 构成的森林(好几片Splay构成的森林)
   
   6. Splay作为辅助树，改变的只是 LCT 中的轻重边关系
   
   7. 基本的结构体变量

struct node{
	node* fa;node* son[2];
	bool rev,is_root;//区间反转标记和是否是Splay的根
}

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2.基本操作

代码均使用指针。

可自己画图以理解。

注:以下代码中有:

#define __ NULL
#define ls son[0]
#define rs son[1]
#define get_son(a) (a->fa->rs==a)

1. Splay的操作(为了适应LCT有些改动)

void rotate(node* p)
{
	if(p->is_root) return;
	register node* q=p->fa;register node* gp=q->fa;
	register int k=get_son(p);
	q->son[k]=p->son[k^1];
	if(p->son[k^1]!=__) p->son[k^1]->fa=q;
	p->fa=gp;
	if(q->is_root) q->is_root=0,p->is_root=1;
	//由于不能影响到另一棵Splay,要用 is_root 判断
	else if(gp!=__) gp->son[get_son(q)]=p;
	q->fa=p;p->son[k^1]=q;//记住旋转时指针指向的变更顺序!!
	return;
}
void Splay(node* p)
{
	if(p==__) return;
	push(p);//在Splay到根之前要先下传标记(区间反转)
	while(!p->is_root){//别旋出去啦!
		if(p->fa->is_root) {rotate(p);break;}
		if(get_son(p)==get_son(p->fa)) rotate(p->fa);
		else rotate(p);rotate(p);
	}
	return ;
}

2.\(access(p)\) 访问某节点

void access(node* p)//访问某节点 p ,单独开辟一条路到节点 p ;
{
	register node* pre=__;
	while(p!=__){
		Splay(p);
		if(p->rs!=__) p->rs->is_root=1;
		p->rs=pre;//切断右子树(不同Splay的父亲记录只从子到父)
		if(pre!=__) pre->is_root=0;
		//pre一定是上一棵Splay的根,要把它加到另一棵Splay中;
		//updata(p);(更新)
		pre=p;p=p->fa;
	}
}

3.\(makeroot(p)\) 使p变为其所在LCT的根节点

void m_root(node* p)//使某个点成为根
{
	if(p==__) return;
	access(p);Splay(p);//连一条从树根到 p 的路径
	p->rev^=1;
/*
因为树根的深度应要是最小的,上面操作只是让 p 成为了原树根所在Splay的根,
但他仅有左子树,深度最大,故还应该反转该Splay,使得 p 成为真正的根
(即保证深度为整棵LCT中深度最小的点);

上述操作并不会改变原树的结构
*/
}

4.\(Link(u,v)\) 连接u，v所在的LCT，使之变为一棵LCT

void Link(node* p,node* q)
{
	m_root(p);//不改变p所在树的结构,只是将p提取出来便于操作
	p->fa=q;//连接了两棵LCT改变了原图的结构(连的边是轻边,不用updata)
}

5.\(split(u,v)\) 分离出u->v这条路径，其上的点都在一颗Splay中，可迅速获得路径上的信息

void split(node* p,node* q){
    m_ root(p);
    access(q);
    Splay(q);
}

6.\(Cut(u,v)\)砍断边\((u，v)\)分成两棵LCT

void Cut(node* p,node* q)
{
	split(p,q);
	if(q->ls==p) p->fa=q->ls=__,p->is_root=1;
	//此时q所在Splay仅有他一个节点
}

6.标记的下放

void push_down(node* p)
{
	if(p==__||p->rev==0) return;
	p->rev=0;
	if(p->ls!=__) p->ls->rev^=1;if(p->rs!=__) p->rs->rev^=1;
	swap(p->ls,p->rs);
}
void push(node* p){//数据不大时可写成递归版本
	h=1;st[h]=p;
	while(!p->is_root) st[++h]=(p=p->fa);
	for(int i=h;i;i--) push_down(st[i]);
}
void push(node* p)//递归版本
{
    if(p==__) return;
    if(p->is_root==0) push(p->fa);
    push_down(p);
}

7.\(find(p)\) 返回p所在LCT的根节点(通常用于判断两点是否联通)

node* find(node* p)
{
    for(access(p),Splay(p);p->ls!=__;p=p->ls);
    return p;
}

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3.LCT的应用

LCT可以很方便的提取出两点之间的路径和改变原树的形态，因此在处理一些树上的路径问题非常行之有效。

1.动态询问两点之间的连通性

例题.LuoguP2147 [SDOI2008]Cave 洞穴勘测 用find操作即可

2.动态询问树上两点间的距离

例题1.BZOJ2002: [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊

题解

例题2.LuoguP3721 [AH2017/HNOI2017]单旋

题解

3.各种树上路径问题

例题1.BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林 动态维护最小生成树

题解

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