BZOJ 1911 特别行动队 （斜率优化）

$ BZOJ₁₉₁₁*~ $ 特别行动队： （斜率优化）

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$ solution: $

感觉这道题目还是比较常规的，首先我们很容易想到DP，因为题目里面说了选出的人都是连续的，这意味着我们可以从前往后DP。我们直接设 \(f[i]\) 表示前 \(i\) 在分组之后的战斗力之和（因为题目没有明确要求分几组，所以我们省去这一维度）。然后转移也比较常规，我们枚举前面的某一个人 \(k\) 作为这一组人的左端点（右端点就是第 \(i\) 个人）。这题数据范围很大，我们也不用着急，现将式子列出来，如果转移不能优化再另寻他法。（事实上这种没有性质的DP，优化只能靠转移方程）

转移方程：

$ F[i]=F[k]+a\times (S[i]-S[k])^2+b\times(S[i]-S[k])+c $

把这个式子拆开你就会看到一个与 \(i,k\) 都有关的乘积项，这是斜率优化的标志：

$ F[i] = F[k] + a\times S[i]^2 - 2a\times S[i]\times S[k] + a\times S[k]^2+b\times S[i] - b\times S[k] + c $

然后我们将同一类的项移动到一起，化为斜率优化的标准式：

$ F[k] + a\times S[k]^2 - b\times S[k] = + 2a\times S[i]\times S[k] + F[i] -a\times S[i]^2 - b\times S[i] - c $

然后我们将 乘积项\(2a\times S[i]\times S[k]\) 里面有关于 \(k\) 的 \(S[k]\) 作为横坐标（自变量） ，然后等式右边有关 \(k\) 的项 \(F[k] + a\times S[k]^2 - b\times S[k]\) 作为纵坐标（应变量）。然后我们要 \(F[i]\) 最大，其实就是让截距 \(F[i] -a\times S[i]^2 - b\times S[i] - c\) 最大。于是直接斜率优化即可。

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$ code: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define rg register int

using namespace std;

int n;
ll a,b,c;
int s[1000005];
int q[1000005];
ll g[1000005];
ll f[1000005];

inline int qr(){
	register char ch; register bool sign=0; rg res=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')sign=1;
	while(isdigit(ch))res=res*10+(ch^48),ch=getchar();
	if(sign)return -res; else return res;
}

int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=qr(); a=qr(); b=qr(); c=qr(); rg l=1,r=0;
	for(rg i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+qr();
	for(rg i=1;i<=n;++i){  q[++r]=i-1;
		while(l<r&&g[q[l+1]]-g[q[l]]>=2*a*s[i]*(s[q[l+1]]-s[q[l]]))++l;
		rg x=s[i]-s[q[l]];
		f[i]=f[q[l]]+a*x*x+b*x+c;
		g[i]=f[i]+a*s[i]*s[i]-b*s[i];
		while(l<r&&(g[q[r]]-g[q[r-1]])*(s[i]-s[q[r]])<=(g[i]-g[q[r]])*(s[q[r]]-s[q[r-1]]))--r;
	}printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}