题解【AcWing279】自然数拆分

题面

因为题目中说参与加法运算的数可以重复，由此可以想到完全背包计数问题。

完全背包计数问题与 \(01\) 背包计数问题只有一个不同： \(01\) 背包计数问题的第二维循环是倒叙循环，而完全背包计数问题的第二维循环是正序循环。

这涉及到的是循环时后效性的问题，具体的证明留给读者思考。

注意每一步计数都要取模，且最后输出要减去只有 \(n\) 一个数的一组解。

#include <bits/stdc++.h>
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d\n", __FUNCTION__, __LINE__)
#define itn int
#define gI gi

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII;
typedef pair <int, PII> PIII;

inline int gi()
{
	int f = 1, x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return f * x;
}

const int maxn = 4003;

int n;
LL dp[maxn];

int main()
{
	//freopen(".in", "r", stdin);
	//freopen(".out", "w", stdout);
	n = gi();
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i+=1)
	{
		for (int j = i; j <= n; j+=1)
		{
			(dp[j] += dp[j - i]) %= (1ll * 2147483648);
		}
	}
	printf("%lld\n", (dp[n] - 1) % (1ll * 2147483648));
	return 0;
}