欧拉定理、欧拉函数、a/b%c

怕忘了……

欧拉函数 定义、证明、打表方法

欧拉定理 定义、证明

https://blog.csdn.net/zzkksunboy/article/details/73061013

剩余系、完系、简系

证明相当精彩！

而1~a*b中关于a*b的每个系有且仅有一个。

勿忘：积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

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https://blog.csdn.net/u014074562/article/details/50990326

a^b%c

在b非常大时的情况，

[前提 (a,c)=1]

因为a^phi(c)%c = 1

a^b%c=a^(b%phi(c))%c

c为素数时，phi(c)=c-1。

[无前提]

b>=phi(c)时，a^b%c=a^(b%phi(c)+phi(c))%c

b<phi(c)时，a^b%c=a^(b%phi(c))%c (前面的定理不一定正确)

证明：

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P5091

例子：

a=d c=d^e b=d^f e>f

如a=2 b=1024 c=2

P5091 【模板】欧拉定理

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 using namespace std;
 #define ll long long

 const double eps=1e-;
 const ll inf=1e9;
 const ll mod=1e9+;
 const int maxn=1e6+;
 //const int maxlen=2e7+10;

 int phi[maxn],zhi[maxn],cnt_zhi;
 bool vis[maxn];
 int maxv=1e6;
 //char str[maxn];

 ll mul(ll a,ll b,ll m)
 {
     ll y=;
     while (b)
     {
         if (b&)
             y=y*a%m;
         a=a*a%m;
         b>>=;
     }
     return y;
 }

 int main()
 {
     ///互质：它们的公因数只有1
     ///i=1~m的phi(i) 顺便求出

     bool use=;
     int i,j,k,a,b,m;
     char c;
     phi[]=;///
     for (i=;i<=maxv;i++)
     {
         if (!vis[i])
         {
             zhi[++cnt_zhi]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         for (j=;j<=cnt_zhi;j++)
         {
             k=i*zhi[j];
             if (k>maxv)
                 break;
             vis[k]=;
             if (i%zhi[j]==)
             {
                 phi[k]=phi[i]*zhi[j];
                 break;
             }
             else
                 phi[k]=phi[i]*(zhi[j]-);
         }
     }

     scanf("%d%d ",&a,&m);
     b=;
     while ((c=getchar())!=EOF)
     {
         if (!(c>= && c<=))
             break;

         b=b*+c-;
         if (b>=phi[m])
             use=;
         b=b%phi[m];
 //        b=(b*10+c-48)%phi[m];
     }

     if (use)
         printf("%lld",mul(a,b+phi[m],m));
     else
         printf("%lld",mul(a,b,m));
     return ;
 }
 /*
 2 12 8
 2 5 3
 */

Advanced:

学习 快速幂&龟速乘&快速乘

https://blog.csdn.net/Cyan_rose/article/details/83065026

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a/b%c

b,c互质

则a/b 与 a^[phi(c)-1] 模c的结果是一致的 [a^phi(c) mod c = 1]

a/b%c=a^[phi(c)-1]%c

对于任意情况：

针对的a是特别大，b、c较小的情况

a/b%c=(a%bc)/b

证明：把a设为bc*x + b*y +z的形式 (x尽量大，然后是y尽量大，x,y,z>=0)

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最后推荐：

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/6740325.html

一些数论题目的模板