欧拉定理、欧拉函数、a/b%c
怕忘了……
欧拉函数 定义、证明、打表方法
欧拉定理 定义、证明
https://blog.csdn.net/zzkksunboy/article/details/73061013
剩余系、完系、简系
证明相当精彩!
而1~a*b中关于a*b的每个系有且仅有一个。
勿忘:积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
====================================================================
https://blog.csdn.net/u014074562/article/details/50990326
a^b%c
在b非常大时的情况,
[前提 (a,c)=1]
因为a^phi(c)%c = 1
a^b%c=a^(b%phi(c))%c
c为素数时,phi(c)=c-1。
[无前提]
b>=phi(c)时,a^b%c=a^(b%phi(c)+phi(c))%c
b<phi(c)时,a^b%c=a^(b%phi(c))%c (前面的定理不一定正确)
证明:
https://www.luogu.org/problemnew/solution/P5091
例子:
a=d c=d^e b=d^f e>f
如a=2 b=1024 c=2
P5091 【模板】欧拉定理
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long const double eps=1e-;
const ll inf=1e9;
const ll mod=1e9+;
const int maxn=1e6+;
//const int maxlen=2e7+10; int phi[maxn],zhi[maxn],cnt_zhi;
bool vis[maxn];
int maxv=1e6;
//char str[maxn]; ll mul(ll a,ll b,ll m)
{
ll y=;
while (b)
{
if (b&)
y=y*a%m;
a=a*a%m;
b>>=;
}
return y;
} int main()
{
///互质:它们的公因数只有1
///i=1~m的phi(i) 顺便求出 bool use=;
int i,j,k,a,b,m;
char c;
phi[]=;///
for (i=;i<=maxv;i++)
{
if (!vis[i])
{
zhi[++cnt_zhi]=i;
phi[i]=i-;
}
for (j=;j<=cnt_zhi;j++)
{
k=i*zhi[j];
if (k>maxv)
break;
vis[k]=;
if (i%zhi[j]==)
{
phi[k]=phi[i]*zhi[j];
break;
}
else
phi[k]=phi[i]*(zhi[j]-);
}
} scanf("%d%d ",&a,&m);
b=;
while ((c=getchar())!=EOF)
{
if (!(c>= && c<=))
break; b=b*+c-;
if (b>=phi[m])
use=;
b=b%phi[m];
// b=(b*10+c-48)%phi[m];
} if (use)
printf("%lld",mul(a,b+phi[m],m));
else
printf("%lld",mul(a,b,m));
return ;
}
/*
2 12 8
2 5 3
*/
Advanced:
学习 快速幂&龟速乘&快速乘
https://blog.csdn.net/Cyan_rose/article/details/83065026
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a/b%c
b,c互质
则a/b 与 a^[phi(c)-1] 模c的结果是一致的 [a^phi(c) mod c = 1]
a/b%c=a^[phi(c)-1]%c
对于任意情况:
针对的a是特别大,b、c较小的情况
a/b%c=(a%bc)/b
证明:把a设为bc*x + b*y +z的形式 (x尽量大,然后是y尽量大,x,y,z>=0)
=============================
最后推荐:
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/6740325.html
一些数论题目的模板
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