剑指offer 面试题. 剪绳子

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

 

解答：

方法1：

使用动态规划。对于n，可以切为1和n-1，2和n-2.......等等。即递推方程为for(i=1~n-1)，dp[n]=max(dp[n-i]*dp[i],dp[n])

但此题有个要求是m>1，即不能不切，这对小于4的数有影响。2只能切一刀，1*1=1。3切一刀1*2=2。4最大2*2=4，5最大2*3=6，即之后的n分割的乘积就大于等于n自己了。

所以对于小于4的n单独返回，其他n动态规划解决。

 class Solution {
 public:
     int cutRope(int number) {
         if(number==){return ;}
         if(number==){return ;}
         vector<int> dp(number+,INT_MIN);
         dp[]=,dp[]=,dp[]=,dp[]=;
         for(int i=;i<=number;++i){
             for(int j=;j<i;++j){//至少切一刀
                 dp[i]=max(dp[i-j]*dp[j],dp[i]);
             }
             cout<<i<<" "<<dp[i]<<endl;
         }
         return dp[number];
     }
 };

方法2：

还有一种数学方法，从评论区看到的。是说对于所有的n（n>=4），其最大分割的乘积值都是由2和3乘起来得到的。

来自评论区offer已确定，还差个对象。的思路和代码：

如：

4 ： 2*2

5 ： 2*3

6 ： 3*3

7 ： 2*2*3 或者4*3

8 ： 2*3*3

9 ： 3*3*3

10：2*2*3*3 或者4*3*3

11：2*3*3*3

12：3*3*3*3

13：2*2*3*3*3 或者4*3*3*3

 

另外不可能有超过两个2出现在结果中。因为3个2的和为6，6可以分解为两个3，3*3=9，2*2*2=8，9>8，所以不可能分割为3个2。

所以首先我们尽量找更多的3，即n/3个3。如果n%3==1，那么只能少拿一个3，和余的1一起分割成两个2。如7%3==1，那么最大=3*2*2

如果n%3==2，那么直接2*pow(2,n/3)。如8%3==2，最大=2*pow(3,8/3)

 

代码：

 long long n_max_3(long long n) {
     if (n == ) {
         return ;
     }
     if (n == ) {
         return ;
     }
     long long x = n % ;
     long long y = n / ;
     if (x == ) {
         return pow(, y);
     } else if (x == ) {
         return  *  * (long long) pow(, y - );
     } else {
         return  * (long long) pow(, y);
     }
 }