[bzoj1905] [ZJOI2007] Hide 捉迷藏

题意简述

给定一棵 \(n\) 个点的树，起初每个点都为黑色。

2种操作，要么改变某个点的颜色（由黑至白或由白至黑），要么询问距离最远的两个黑点间的距离。

共 \(m\) 次操作。

\(n\leq 10^5,m\leq 2\times 10^5\)

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想法

动态点分治模板题。

如果只有一次询问操作，那么显然可以用点分治来做。（树形 \(dp\) 也可以，但那样不容易拓展到动态的情况）

点分治时，以每个点为根时，统计过它的满足条件的路径即可。

我们需要知道的只是以该点 \(u\) 的每个子节点 \(v\) 为根的子树到该点的最长距离 \(mx[v]\)。

过该点的路径的最长距离为 所有 \(mx[v]\) 中的最大值+次大值。注意如果该点为黑点，最长距离则为 所有 \(mx[v]\) 和 \(0\) 中的最大值+次大值。

同时我们应统计出以 \(u\) 为根的子树中所有点到上一个分治中心的距离的最大值 \(mx[u]\)。

回到这道题，有修改和多次查询。

于是建立 “点分树”，即将当前分治中心与它的各子节点的分治中心连边形成的树。

这棵树有一些性质：

1.只有 \(logn\) 层

2.原树中以每个分治中心为根的子树里的所有点 就是 点分树中以它为根的子树中的所有点。

3.修改一个点 \(x\) ，影响到的是点分树上所有 \(x\) 的祖先为分治中心的情况。

设“点分树”中点 \(u\) 的父节点为 \(pa[u]\)

在此题中，对于每个点 \(u\)，维护堆 \(c[u]\) 记录 \(u\) 为分治中心的子树中的所有黑点到 \(pa[u]\) 的距离，堆 \(b[u]\) 记录 \(u\) 为分治中心时各子节点到 \(u\) 的最大距离。即 \(b[u]\) 中的值，是所有 $c[v].top(),如果 \(u\) 为黑点则还需加上0。

对全局维护堆 \(a\) 记录过每个分治中心的最长距离。\(a\) 中的值，就是 \(b[u]\) 中的最大值+次大值。

由于有修改，所以堆需要满足可删除。

用两个优先队列维护一个堆即可。

还有一个问题，如何快速求原树上两点间距离？

我们知道倍增和树剖都是 \(O(logn)\) 的，但更快的方法是 \(st\) 表+ \(dfs\) 序。

这个 \(dfs\) 序很特殊，每次访问完 \(u\) 的子节点 \(v\) 后，要在序列中再加入 \(u\) 。记录进入每个点的时间 \(dfn[u]\)

在这个序列上用 \(O(nlogn)\) 预处理出 \(st\) 表，之后查询 \(x\) 与 \(y\) 的 \(lca\) 就是 \(dfn[x]\) 与 \(dfn[y]\) 着一段序列中深度最小的点，\(O(1)\) 可求。

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总结

技巧

1.\(O(1)\) 求静态树上两点的 \(lca\)：\(st\) 表+ \(dfs\) 序

int tot,dfn[N],num[N*2],dep[N];
void dfs(int u){
	int v;
	dfn[u]=++tot; num[tot]=u;
	for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
		if(!dfn[v=p->v]) {
			dep[v]=dep[u]+1;
			dfs(v);
			num[++tot]=u; //与普通dfs序不同的地方!
		}
}
int st[N*2][18],lg[N*2];
void getst(){
	dep[1]=1; dfs(1);
	for(int i=1;i<=tot;i++) st[i][0]=dep[num[i]];
	for(int j=1;j<18;j++){
		int t=(1<<j);
		for(int i=1;i+t-1<=tot;i++)
			st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+t/2][j-1]);/**/
	}
	int t=0,cur=1;
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		if(i<cur) lg[i]=t-1;
		else {
			lg[i]=t;
			t++; cur*=2;
		}
}
int lca(int x,int y){ //lca的深度
	x=dfn[x]; y=dfn[y];
	if(x>y) swap(x,y);
	int t=lg[y-x+1];
	return min(st[x][t],st[y+1-(1<<t)][t]);
}

2.可删堆

用两个优先队列维护，一个维护所有的，一个维护删除的。

struct heap{
	priority_queue<int> q,d;
	void ins(int x) { q.push(x); }
	void del(int x) { d.push(x); }
	void pop(){ //删除最大值
		while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
		q.pop();
	}
	int fr(){ //堆中最大值
		while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
		return q.top();
	}
	int size() { return q.size()-d.size(); }
};

手残

\(st\) 表中注意第二维不要开小了！

注意判断堆是否为空。

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代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;

int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}

const int N = 100005;

int n;
struct node{
	int v;
	node *nxt;
}pool[N*4],*h1[N],*h[N];
int cnt;
void addedge1(int u,int v){
	node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
	p->v=v;p->nxt=h1[u];h1[u]=p;
	q->v=u;q->nxt=h1[v];h1[v]=q;
}
void addedge(int u,int v){
	node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
	p->v=v;p->nxt=h[u];h[u]=p;
	q->v=u;q->nxt=h[v];h[v]=q;
}

//get lca
int tot,dfn[N],num[N*2],dep[N];
void dfs(int u){
	int v;
	dfn[u]=++tot; num[tot]=u;
	for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
		if(!dfn[v=p->v]) {
			dep[v]=dep[u]+1;
			dfs(v);
			num[++tot]=u; /**/
		}
}
int st[N*2][18],lg[N*2];
void getst(){
	dep[1]=1; dfs(1);
	for(int i=1;i<=tot;i++) st[i][0]=dep[num[i]];
	for(int j=1;j<18;j++){
		int t=(1<<j);
		for(int i=1;i+t-1<=tot;i++)
			st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+t/2][j-1]);/**/
	}
	int t=0,cur=1;
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		if(i<cur) lg[i]=t-1;
		else {
			lg[i]=t;
			t++; cur*=2;
		}
}
int lca(int x,int y){
	x=dfn[x]; y=dfn[y];
	if(x>y) swap(x,y);
	int t=lg[y-x+1];
	return min(st[x][t],st[y+1-(1<<t)][t]);
}
int dis(int x,int y) {
	return x==0||y==0?dep[x+y]:dep[x]+dep[y]-2*lca(x,y);
}

//heap
struct heap{
	priority_queue<int> q,d;
	void ins(int x) { q.push(x); }
	void del(int x) { d.push(x); }
	void pop(){
		while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
		q.pop();
	}
	int fr(){
		while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
		return q.top();
	}
	int se(){
		int x=fr(); pop();
		int y=fr(); q.push(x);
		return x+y;
	}
	int size() { return q.size()-d.size(); }
}a,b[N],c[N];

//build dianfen tree
int rt,root,all,sz[N],mx[N],vis[N],pa[N];
void getrt(int u,int fa){
	int v;
	sz[u]=1; mx[u]=0;
	for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
		if((v=p->v)!=fa && !vis[v]){
			getrt(v,u);
			sz[u]+=sz[v];
			mx[u]=max(mx[u],sz[v]);
		}
	mx[u]=max(mx[u],all-sz[u]);
	if(mx[u]<mx[rt]) rt=u;
}
void getsz(int u,int fa,int id){
	int v;
	sz[u]=1;
	c[id].ins(dis(u,pa[id]));
	for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
		if((v=p->v)!=fa && !vis[v]){
			getsz(v,u,id);
			sz[u]+=sz[v];
		}
}
void work(int u){
	int v;
	vis[u]=1;
	c[u].ins(dis(u,pa[u]));
	b[u].ins(0);
	for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
		if(!vis[v=p->v]){
			getsz(v,u,u);
			all=sz[v]; rt=0; getrt(v,u);
			addedge(u,rt);
			pa[rt]=u; v=rt;
			work(rt);
			b[u].ins(c[v].fr());
		}
	if(b[u].size()>1) a.ins(b[u].se());
}

//modify
void turn_off(int u){//1->0
	int x=u;
	if(b[x].size()>1) a.del(b[x].se());
	b[x].ins(0);
	if(b[x].size()>1) a.ins(b[x].se());
	while(x){
		if(pa[x]) { //del fa
			if(b[pa[x]].size()>1) a.del(b[pa[x]].se());
			if(c[x].size()) b[pa[x]].del(c[x].fr()); /**/
		}
		c[x].ins(dis(u,pa[x]));
		if(pa[x]) { //update fa
			b[pa[x]].ins(c[x].fr());
			if(b[pa[x]].size()>1) a.ins(b[pa[x]].se());
		}
		x=pa[x]; /**/
	}
}
void turn_on(int u){//0->1
	int x=u;
	if(b[x].size()>1) a.del(b[x].se());
	b[x].del(0);
	if(b[x].size()>1) a.ins(b[x].se());
	while(x){
		if(pa[x]) { //del fa
			if(b[pa[x]].size()>1) a.del(b[pa[x]].se());
			if(c[x].size()) b[pa[x]].del(c[x].fr()); /**/
		}
		c[x].del(dis(u,pa[x]));
		if(pa[x]) { //update fa
			if(c[x].size()) b[pa[x]].ins(c[x].fr());/**/
			if(b[pa[x]].size()>1) a.ins(b[pa[x]].se());
		}
		x=pa[x];/**/
	}
}

int lon,lit[N];

int main()
{
	int Q,x;
	char ch[2];
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++) addedge1(read(),read());

	getst();
	rt=0; mx[rt]=n+1; all=n; getrt(1,0);
	root=rt;
	work(root);

	lon=0;
	Q=read();
	while(Q--){
		scanf("%s",ch);
		if(ch[0]=='C'){
			x=read();
			if(lit[x]) lon--,turn_off(x),lit[x]=0; /*lit*/
			else lon++,turn_on(x),lit[x]=1;
		}
		else{
			if(lon==n) printf("-1\n");
			else if(lon==n-1) printf("0\n");
			else printf("%d\n",a.fr());
		}
	}

	return 0;
}