有向图寻找(一个)奇环 -- find an oddcycle in directed graph

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判定 + 寻找一组解

(感觉这个东西挺有意思的记录一下..)

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Algorithm.A

暴力吧.. 暴力枚举每个环判断一下.. (不知道什么复杂度..反正大概是指数级别的,说错了别打我,怕疼)

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Algorithm.B

先把强联通分量搞出来. \(O(n+m)\)

然后考虑对点dfs二染色并同时维护传递闭包(这里传递闭包的定义是\(v\in \mathtt{closure}(u)\)当且仅当dfn[v]<dfn[u]且u可以访问到v),枚举出边(u,v)的时候若有一边是两端同色(这条边一定是返祖边或横向边,理由dfn[u]>dfn[v]),如果是返祖边(inStack[v])那就不用做了,如果是横向边考虑v的传递闭包中的u祖先, 判断是不是奇环. 总复杂度\(O(n^2)\). 用线段树启发式合并的技巧我们就能得到一个优秀又难写的\(O(n^2\log{n})\)算法.

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Algorithm.C

我们考虑一个出发点不太一样的做法.

我们拆点, 将一个点u分为两个点W(u)和B(u).原图需要加入边(u,v)的时候我们加入W(u)->B(v), B(u)->W(v).

那么考虑原图中存在一个奇环当且仅当存在u使得W(u)可以达到B(u)或B(u)可以达到W(u),把这段路径搞下来变成原来节点就是要找的环了.

那么我们对于每个点W(u)和B(u)都dfs一下看看能不能到达就好了. 因为对称性所以B(u)上是无需dfs的. \(O(n^2)\)

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Algorithm.D

然而好像无需这么干..

若一个有奇环a,b,c,...,x,y(不要管它字母是怎么写的,其中元素有多少个,反正是奇数个), 不失一般性我们认为a是最先访问到的节点,而此时b,c,...,x,y都没有被访问过, 显然需要存在W(a)->B(b)->W(c)->...->W(y)->B(a)

在这条路径上除了a以外颜色都是固定的.我们假设没有按照这条路径先走而是走了例如W(a)->B(X)->W(y)的路径, 显然奇偶性是没有改变的, 那么要是原来能找到奇环那么先在也能走到奇环, 而只要W(a)能访问到W(y)那么一定从W(a)出发会走到W(y), 那肯定能发现一个奇环.

如果存在一个奇环显然有一个节点是最先访问的,而此时所有其它奇环上的顶点都没被访问过.

那么只要有一个奇数环一定能找到.

复杂度是\(O(n+m)\)的.

一道裸题的代码

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int maxn = 200010;
const int maxm = 2000010;
namespace Graph{
	struct ed{
		int t;
		ed* n;
	}*h[maxn],Al[maxm],*p=Al;
	inline void ade(int f,int t){ *p=(ed){t,h[f]}; h[f]=p++; }
	bool vis[maxn], inq[maxn];
	int stk[maxn],stt;
	int cycle[maxn], cycleLen;
	void dfs(int n){
		vis[n]=inq[n]=1;
		stk[stt++]=n;
		for(ed*i=h[n];i;i=i->n){
			int vx;
			if(inq[vx=(i->t^1)]){
				while(stk[--stt]!=vx)
					cycle[cycleLen++]=stk[stt];
				cycle[cycleLen++]=vx;
			}else if(!vis[i->t]) dfs(i->t);
			if(cycleLen) return;
		} --stt;
		inq[n]=0;
	}
	inline void init(int n){
		for(int i=2,_=n*2+1;i<=_;++i){
			inq[i]=vis[i]=0;
			h[i]=NULL;
		} p=Al, cycleLen=0, stt=0;
	}
	inline void work(){
		int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
		init(n);
		for(int i=1,a,b;i<=m;++i){
			scanf("%d%d",&a,&b);
			ade(a<<1,b<<1|1);
			ade(a<<1|1,b<<1);
		}
		for(int i=2,_=2*n+1;i<=_;++i) if(!vis[i]){
			dfs(i);
			if(cycleLen) break;
		}
		if(cycleLen){
			printf("1\n%d\n",cycleLen);
			for(int i=cycleLen-1;~i;--i) printf("%d\n",cycle[i]>>1);
		}else
			printf("-1\n");
	}
} using namespace Graph;
int main(){
	int t; scanf("%d",&t);
	while(t--) work();
	return 0;
}