BSGS[bzoj2242][bzoj3122]

数论题。

操作一：直接快速幂就好了。

操作二：我用了exgcd，shy和lyz都喜欢欧拉函数。。。QAQ最后这块还写错了。

对于ax+by=gcd(a,b)的形式，我们可以把他们变成y'x+p'y=1,当方程同乘以gcd(y,p)，解不变。

最后只要将解乘以倍数即可。

操作三：baby step giant step，意为先小步后大步。由费马小定理可得答案不会超过p，我们可以把答案X看作k*m+i的形式，显然当m=sqrt（p）时复杂度最优。预处理m以内的hash值存入map（今天发现map真是个好东西）， 枚举k，因为ni（y^k*m)*z%p=y^i%p，当当前值存在于哈希表是，则说明找到一个合法k与合法i，计入答案。

此时有一个特殊情况，若当前hash值为一，即ni（y^k*m)===z(mod p),则i=0；

#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int x,y,z,p;ll xx,yy;
map<ll,ll>hash;
int gcd(int a,int b)
{
  )return a;
  return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(int a,int b,ll &x,ll &y)
{
  ){
    x=;y=;return;
  }
 exgcd(b,a%b,x,y);int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
int ni(int m)
{
  -m;ll tmp=,a=y;
  while(k)
  {
    ==)
    {
      tmp=(tmp*a)%p;
    }
    a=a*a%p;k=k/;
  }
  return tmp;
}
void solve2()
{
  z=z%p;y=y%p;
  &&z==){printf("1\n");return;}
  ){printf("Orz, I cannot find x!\n");return;}
  hash.clear();
  int m=ceil(sqrt(p));
  hash[]=m+;ll e=;
  ;i<=m;i++)
  {
    e=(e*y)%p;if(!hash[e])hash[e]=i;
  }
  ll ans=-,tmp=;e=ni(m);ll T=e;
  ;i<m;i++)
  {
      if(hash[tmp*z%p])
      {
        )ans=i*m;else ans=i*m+hash[tmp*z%p];
        break;
      }
      tmp=tmp*T%p;
  }
  )printf("Orz, I cannot find x!\n");else printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
   int cas,ty;
    scanf("%d%d",&cas,&ty);
    while(cas--)
    {
        scanf("%d%d%d",&y,&z,&p);
        )
        {
            ,a=y;
            )
            {
              ==){
                  tmp=(tmp*a)%p;
              }
              a=a*a%p;k=k/;
            }
            printf("%lld\n",tmp);
        })
        {
            int x;if(y>p)x=gcd(y,p);else x=gcd(p,y);
            )
            {
                xx=,yy=;y=y/x;z=z/x;p=p/x;
                if(y>p) exgcd(y,p,xx,yy);else exgcd(p,y,yy,xx);
                xx=xx*z%p;
                )xx+=p;
                printf("%lld\n",xx);
            }else printf("Orz, I cannot find x!\n");
        })
        {
            solve2();
        }

    }
 } 

bzoj2242

07/23

3122这道题其实hzw的博客里已经写的很详尽了，但是蒟蒻还是理解了好久。

可能数论题的每一步操作每一个特判都很精妙，也可能是个人题目做得太少TAT

               if(x1==t){
            printf("1\n");continue;
        }
        )
        {
          if(b==t)printf("2\n");else printf("-1\n");
          continue;
        }

首先这里开场的两个特判；

if(a==1)
  {
     printf("%d\n",calc1());
     continue;
  }

其次是判断a==1的情况，我有尝试把它删去试试，发现这样就wa了，因为求数列的时候a不能为1；

对于a==1的可行情况，xn=x1+(n−1)b===（同余）t，我们把x1移项，做一下exgcd（b,p,x,y），（当然还要判一下它们的gcd是否被t-x1整除的情况）；当然别忘了x可能<0，当然也别忘了x+1（x==n-1）。

当a>2时，这时的确需要一些数学姿势！

通项公式（我不会推啊。。。只能请教班上的数竞大神了）

“告诉你x1的值，x2=ax1+b，……，Xn=a*Xn-1+b，a与b的值已知，求数列通项公式，只要用x1，a，b表示就行。”

Xn=a^(n−1)*x1+b*A(n−1)−1/a−1(mod p)=t...........不会latex啦

我们就可以这样做：把所有常数丢到右边，与a^(n-1)相关的留在左边，

设c为a−1的逆元设c为a−1的逆元   (x1+bc)an−1=bc+t(mod p)

此时需要注意的是，系数A=x1+bc，系数B=bc+t，它们都有可能大于p了，所以这时候还需要特判：（这道题特判好多）

1.如果系数A%p==0，那么B也要是p的倍数才行

2.设a^(n-1)=S,做一遍exgcd（A，p，x，y），要求Ax+py=B嘛，只要乘以系数就好了，另外得到的x就可以代入BSGS了

好了。。。。。。。。干了这么多事情

终于可以用上窝萌亲爱的baby step giant step了！

第二遍写了，蛮好理解的...map蛮好用的+2

#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int cas;
ll p,a,b,x1,t,x,y;
ll quick(ll x,ll b)
{
  x=x%p;
  ll k=b,tmp=,a=x;
  )
  {
    ==)
    {
      tmp=tmp*a%p;
    }
    a=a*a%p;k/=;
  }
  return tmp;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ){
      x=;y=;return a;
    }
    ll tmp=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return tmp;
}
ll calc1()
{
    ll C=(t-x1+p)%p,x,y;
    ll day=exgcd(b,p,x,y);
    ;
    C/=day;
    x=x*C%p;
    )x+=p;
    ;
}
map<ll,int>mp;
ll bsgs(ll A,ll B,ll C)
{
   A%=C;
   )
   {
      );;//MARK
   }
   ;
   ll t=,I=,Im=quick(A,C--m);
   mp.clear();mp[]=m+;
   ;i<m;i++)
   {
       t=t*A%C;if(!mp[t])mp[t]=i;
   }
   ;k<m;k++)
   {
       int i=mp[B*I%C];
       if(i)
       {
          )i=;//printf("%d %d %lld\n",k,m,B);
          return m*k+i;
       }
       I=I*Im%C;
   }
   ;
}
ll calc2()
{
  ll c=quick(a-,p-);
  ll C=(t+b*c)%p;
  ll A=(x1+b*c)%p;
  ll t=exgcd(A,p,x,y);
  ;
  C/=A;
  if(x<p)x=x%p+p;
  t=bsgs(a,x*C%p,p);
  //printf("===%lld\n",t);
  );;
}
int main()
{
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&t);
        if(x1==t){
            printf("1\n");continue;
        }
        )
        {
          if(b==t)printf("2\n");else printf("-1\n");
          continue;
        }
        )
        {
           printf("%d\n",calc1());
           continue;
        }
        printf("%lld\n",calc2());
    }
} 

bzoj3122