MT【314】正切比值

(05复旦)已知三角形$\Delta ABC$满足$\tan A:\tan B:\tan C=1:2:3$,求$\dfrac{AC}{AB}$____

解答:设$x=tan A$,利用恒等式$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$
得$6x^3=6x$故$x=1,\tan B=2x=2,tan C=3x=3$

进而得$\sin B=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\sin C=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$故$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
或者利用切割化弦,都变成边也可得到答案.