【51NOD1965】奇怪的式子 min_25筛

题目描述

　　给你\(n\)，求

\[\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}
\]

　　对\({10}^{12}+39\)取模。

　　\(\sigma_0(i)\)表示约数个数。

题解

　　把式子拆成两部分：

\[\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}=\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i}\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{\mu(i)}
\]

　　先看前面这部分

\[\begin{align}
S(n)&=\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}\\
\prod_{i=1}^n\sigma_0(i)^i&=\prod_{p}\prod_{k=1}{(k+1)}^{p^kS(\frac{n}{p^k})-p^{k+1}S(\frac{n}{p^{k+1}})}\\
&=\prod_{p\leq \sqrt n}\prod_{k=1}{(k+1)}^{p^kS(\frac{n}{p^k})-p^{k+1}S(\frac{n}{p^{k+1}})}\times \prod_{p>\sqrt n}2^{pS(\frac{n}{p})}
\end{align}
\]

　　前面那个式子可以直接计算，后面那个式子可以用min_25筛筛出质数和，然后套上一个数论分块解决。

　　再看后面那部分：

　　因为\(i\)的每个质数只出现了一次，所以\(\sigma_0(i)=2^{i\text{的质因子个数}}\)

\[\begin{align}
\prod_{i=1}^n\sigma_0(i)^{\mu(i)}&=\prod_{i=1}^n2^{i\text{的质因子个数}\times \mu(i)}
\end{align}
\]

　　然后设

\[\begin{align}
F1_{n,j}&=\sum_{i=2}^n[i\text{为质数或}i\text{的最小因子都不小于}p_j]\mu(i)\times i\text{的质因子个数}\\
F2_{n,j}&=\sum_{i=2}^n[i\text{为质数或}i\text{的最小因子都不小于}p_j]\mu(i)\\
F1_{n,j}&=-([p_j,n]\text{之间的质数个数})-\sum_{i\geq j,p_i^2\leq n}(F1_{\frac{n}{p_i},i+1}+F2_{\frac{n}{p_i},i+1})\\
F2_{n,j}&=-([p_j,n]\text{之间的质数个数})-\sum_{i\geq j,p_i^2\leq n}F2_{\frac{n}{p_i},i+1}\\
\end{align}
\]

　　直接上min_25筛就好了。

　　乘法取模可以用黑科技，或者__int128

　　时间复杂度：\(O(\frac{n^\frac{3}{4}}{\log n})\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
//	sprintf(str,"%s.out",s);
//	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c,b=0;
	while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
	if(c=='-')
	{
		c=getchar();
		b=1;
	}
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
const ll p=1000000000039;
const ll p1=1000000000038;
ll mul(ll a,ll b)
{
	return (__int128)a*b%p;
//	a%=p;
//	b%=p;
//	return (a*b-(ll)((long double)a/p*b+1e-8)*p)%p;
}
ll mul1(ll a,ll b)
{
	return (__int128)a*b%p1;
//	a%=p1;
//	b%=p1;
//	return (a*b-(ll)((long double)a/p1*b+1e-8)*p1)%p1;
}
ll fp(ll a,ll b){ll s=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)s=mul(s,a);return s;}
ll fp1(ll a,ll b){ll s=1;for(;b;b>>=1,a=mul1(a,a))if(b&1)s=mul1(s,a);return s;}
const int M=350010;
const int m=350000;
ll n;
ll sq;
int b[M],pri[M],cnt;
ll f1[M],f2[M],g1[M],g2[M];
void init()
{
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(!b[i])
			pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=m;j++)
		{
			b[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
				break;
		}
	}
	pri[cnt+1]=m+1;
}
ll s[50];
void gao()
{
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		f1[i]=(ll)(i+2)*(i-1)/2%p1;
		g1[i]=i-1;
	}
	for(int i=1;n/i>m;i++)
	{
		f2[i]=((n/i)&1?mul1((n/i-1)/2,(n/i+2)):mul1((n/i+2)/2,(n/i-1)));
		g2[i]=n/i-1;
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		int j;
		ll x1=f1[pri[i]-1];
		ll x2=g1[pri[i]-1];
		for(j=1;n/j/pri[i]>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
		{
			f2[j]=(f2[j]-pri[i]*(f2[j*pri[i]]-x1))%p1;
			g2[j]-=g2[j*pri[i]]-x2;
		}
		for(;n/j>m&&n/j>=(ll)pri[i]*pri[i];j++)
		{
			f2[j]=(f2[j]-pri[i]*(f1[n/j/pri[i]]-x1))%p1;
			g2[j]-=g1[n/j/pri[i]]-x2;
		}
		for(j=m;j>=(ll)pri[i]*pri[i];j--)
		{
			f1[j]=(f1[j]-pri[i]*(f1[j/pri[i]]-x1))%p1;
			g1[j]-=g1[j/pri[i]]-x2;
		}
	}
}
pll getf(ll x,int y)
{
	if(x<=1||x<pri[y])
		return pll();
	ll s1=-((x<=m?g1[x]:g2[n/x])-g1[pri[y]-1]);
	ll s2=s1;
	for(int i=y;i<=cnt&&(ll)pri[i]*pri[i]<=x;i++)
	{
		pll v=getf(x/pri[i],i+1);
		s1=(s1-v.first-v.second)%p1;
		s2-=v.second;
	}
	return pll(s1,s2);
}
ll get(ll x)
{
	return x<=m?f1[x]:f2[n/x];
}
ll sum(ll x)
{
	return x&1?mul1((x+1)/2,x):mul1(x/2,x+1);
}
void solve()
{
	scanf("%lld",&n);
	sq=0;
	while((sq+1)*(sq+1)<=n)
		sq++;
	memset(s,0,sizeof s);
	gao();
	pll res=getf(n,1);
	s[2]=(s[2]+res.first)%p1;
	for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		if(j>sq)
			s[2]=(s[2]+mul1(get(j)-get(max(i-1,sq)),sum(n/i)))%p1;
	}
	for(int i=1;i<=cnt&&(ll)pri[i]*pri[i]<=n;i++)
	{
		ll s1=pri[i],s2=(ll)pri[i]*pri[i];
		for(int j=1;s1<=n;s1=s2,s2*=pri[i],j++)
			s[j+1]=(s[j+1]+mul1(s1,sum(n/s1))-mul1(s2,sum(n/s2)))%p1;
	}
	ll ans=1;
	for(int i=2;i<=50;i++)
	{
		s[i]=(s[i]+p1)%p1;
		ans=mul(ans,fp(i,s[i]));
	}
	ans=(ans+p)%p;
	printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
	open("51nod1965");
	init();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}