i的二次幂求和

\(i^2\)求和

老祖宗告诉我们\(\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

但是这玩意儿是怎么出来的呢？感觉网上用立方差证明的思路太low了，今天偶然间在Miskcoo大佬的博客中看到了一种脑洞清奇通俗易懂的证明方法

我们要求的是\(S_n = \sum_{i=1}^n i^2\)，现在我们对\(C_n = \sum_{i=1}^n i^3\)来进行"扰动"。

首先列一个恒等式

\[\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = C_n + (n+1)^3\]

这里有个骚操作是把前面的转化一下

\[\sum_{i=0}^n (i+1)^3 = C_n + (n+1)^3\]

然后就可以推柿子啦。

\[
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^n i^3 + 3i^2 + 3i + 1 &= C_n + (n+1)^3\\
C_n + 3S_n + 3\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)&= C_n + (n+1)^3\\
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
\Rightarrow S_n &= \frac{2(n+1)^3 - 3n(n+1)-2(n+1)}{6}\\
&=\frac{n(2n + 1)(n+1)}{6}
\end{aligned}
\]

同时这个方法具有非常强的扩展性，我们也可以推导出\(i^k\)的公式，但是计算起来的复杂度却是\(k^2\)的，感觉还是拉格朗日插值\(k \log k\)好用一些

参考资料

幂和