Overlapping generations model

I.6 Overlapping generations

世代被分离开，世代不重复一定满足哈代公式的条件，但是现实情况远没有这么简单（因为会世代重叠，即亲代死去同时一个亲代在不同时间都有可能产生子代，因为而哈代公式需要世代不重叠，即亲代只产生一次子代），所以，我们需要构造另一种模型来分析世代重叠。

 

因为我们可以构造出近似于哈代比例的前提，帮助我们判断一些参数的值（因为在极端情况下该模型与哈代平衡一致，即利用一些点去构造一个连续的曲线）。

 

前提一：该种群情况是Deaths and births occur irrespective of genotype, that there is no difference in genotype frequencies between sexes, no mutation, no migration, and an infifinite population size.这是满足哈代平衡条件的。

前提二：during an amount δt of time (assumed to be short), a fraction δt of the population dies and is replaced（即在此模型中亲代死亡率和次世代的出生率保持一致且恒定。）

假设前提二满足哈代平衡：

照此定义，t指第几个世代，eg，t=0表示亲代，t=1表示第一代（或者亲代到第一代时经历的时间为1个世代），δt 是某一代中的次世代的时间，所以δt自然小于1；同时定义该δt为亲代死亡率和次子代出生率。

所以在第一个次世代中，存活个体占原亲代的（1-δt），新生的次世代占理论值的δt，在总时间t个世代内，不断经历(t/δt)个此过程，整个t个世代时间结束后，存活个体的占亲代的((1-δt)^(t/δt))。

因为当δt极小时，即δt=0时便是不存在次世代（满足哈代比例）。

所以，因为at->0。根据极限定理，可知整个t个世代时间内存活个体的占原亲代的（e^-t），而满足（y=e^-t）的t的均值是1，所以可知整个t个世代中，亲代的平均存活时间是1个世代，既满足哈代平衡）。

所以，前提二满足哈代平衡。

所以，当δt->0时，满足哈代平衡（即基因与基因型之间的关系）

所以，基因频率（PA（a）是基因A的频率，PAA（aa/Aa）是基因型AA（aa/Aa）的频率）可以得到经过(δt+t)个世代时间后，PAA的频率如下：

化简后，得到PAA的变化率，同理可以得到PAa的变化率，同理，可以得到所有基因型的变化率：

又因为基因与基因型之间的数学关系，得到所有基因的变化率：

所以，得到基因的变化率为0，即基因的频率一直是一个常数。

单看（1-19）可以知道：

（PA（t））^2与PAA（t）差的大小反应了PAA（t）的变化速率，所以差为正，则速率变大，差为负则速率变小，所以，为了得到PAA（t）的表达式

可以两边求不定积分：

所以，当t为整数时，是满足哈代公式的，这个model可看做是哈代公式的推广，哈代公式可描述受精卵刚刚产生时期的情况。