理解 Hanoi 汉诺塔非递归算法

汉诺塔介绍：

汉诺塔（港台：河内塔）是根据一个传说形成的数学问题：

传说越南河内某间寺院有三根银棒，上串 64 个金盘。寺院里的僧侣依照一个古老的预言，以上述规则移动这些盘子；预言说当这些盘子移动完毕，世界就会灭亡。这个传说叫做梵天寺之塔问题（Tower of Brahma puzzle）。但不知道是卢卡斯自创的这个传说，还是他受他人启发。

若传说属实，僧侣们需要 $2^{64}-1$步才能完成这个任务；若他们每秒可完成一个盘子的移动，就需要5849 亿年才能完成。整个宇宙现在也不过 137 亿年。

这个传说有若干变体：寺院换成修道院、僧侣换成修士等等。寺院的地点众说纷纭，其中一说是位于越南的河内，所以被命名为“河内塔”。另外亦有“金盘是创世时所造”、“僧侣们每天移动一盘”之类的背景设定。

介绍完汉诺塔背景以后开始解决下非递归思路

汉诺塔的非递归算法描述如下：

首先容易证明，当盘子的个数为n时，

假设有 n 片，移动最少次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7,且f(k+1)=2*f(k)+1。

此后不难证明 n 片时移动的次数应等于2$^n - 1$。

一位美国学者发现一种出人意料的方法，只要轮流进行两步操作就可以了。

我们假设现在最小的圆盘在a柱子上，柱子为a，b，c

第一步：将最小圆盘移动到下一个柱子上，也就是b

第二步：对a柱子和c柱子进行顶上最小的元素进行判断，把小一点的那个圆盘移动到大一点的那个圆盘（有空则摞在空柱子上）。

反复进行前面两步操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。

注意：这样得到的最后的答案不一定是摞在c上，如果N是偶数将摞在b上，所以如果N是偶数我们就令第二个柱子为c，第三个柱子为b，这样就一定最后是摞在c上的。

汉诺塔非递归算法实现

#include<iostream>

#include<stack>

using namespace std;

char s[3] = { 'a', 'b', 'c' };//代表3个柱子

stack<int> a[3];

bool move(int before, int after)

{

    if (a[before].empty())

        return false;

    if (!a[after].empty()){

        if (a[after].top() - a[before].top() < 0)

            return 0;

    }

    a[after].push(a[before].top());

    a[before].pop();

    printf("%c -> %c\n", s[before], s[after]);

    return true;

}

int main()

{

    int N, count = 0;

    cin >> N;

    for (int i = 0; i < N; i++)

        a[0].push(N - i);

    if (N % 2 == 1)

    {

        s[1] = 'c';

        s[2] = 'b';

    }

    while (++count){

        move((count - 1) % 3, count % 3);

        if (!move((count - 1) % 3, (count + 1) % 3))

        if (!move((count + 1) % 3, (count - 1) % 3))

            break;

    }

    return 0;

}

题目实战链接 PTA7-17

查找资料的时候发现N皇后问题与汉诺塔的非递归有类似又不同的思想，这几天赶快安排下学习N皇后（偷懒好久了2333）