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[矩阵乘法]裴波拉契数列II

[矩阵乘法]裴波拉契数列II

Description

形如 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…的数列,求裴波拉契数列的第n项。


Input

n (1< n <2^31)


Output

一个数为裴波拉契数列的第n项mod 10000;


Sample Input

123456789


Sample Output

4514


题目解析

首先看题面,是斐波那契数列。首先想到递归,但考虑到N的值比较大,就想办法将时间复杂度降到

O

(

l

o

g

N

)

O(logN)

O(logN)以达到目的。

那么怎么将时间复杂度降下来呢?
我们将斐波那契数列的第

n

n

n项定义为

f

(

n

)

f(n)

f(n),然后考虑用矩阵乘法进行一个时间复杂度的优化

那么我们考虑矩阵

f

[

n

2

]

,

f

[

n

1

]

\sqsubset f[n - 2] , f[n - 1]\sqsupset

⊏f[n−2],f[n−1]⊐并利用斐波那契数列的递推关系来得到式子

f

[

n

]

,

f

[

n

1

]

=

f

[

n

2

]

+

f

[

n

1

]

,

f

[

n

1

]

\sqsubset f[n] , f[n - 1]\sqsupset = \sqsubset f[n - 2] + f[n - 1] , f[n - 1]\sqsupset

⊏f[n],f[n−1]⊐=⊏f[n−2]+f[n−1],f[n−1]⊐

然后可以构造出一个

2

2

2 * 2

2∗2的矩阵

T

T

T

0

1

1

1

\begin{vmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{vmatrix}

∣∣∣∣​01​11​∣∣∣∣​
然后可以通过

f

[

1

]

,

f

[

2

]

T

=

f

[

2

]

,

f

[

3

]

f[1] , f[2] * T = f[2] , f[3]

f[1],f[2]∗T=f[2],f[3]来实现代码了


Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std; const int MOD = 10000; int n; struct matrix
{
int n, m;
int t[10][10];
}t1, t2, t3; matrix operator *(matrix t, matrix r)
{
matrix c;
c.n = t.n, c.m = r.m;
for (int i = 1; i <= c.n; ++ i)
for (int j = 1; j <= c.m; ++ j)
c.t[i][j]=0;
for (int k = 1; k <= t.m; ++ k)
for (int i = 1; i <= t.n; ++ i)
for (int j = 1; j <= r.m; ++ j)
c.t[i][j] = (c.t[i][j] + t.t[i][k] * r.t[k][j] % MOD) % MOD;
return c;
} void rt (int k)
{
if (k == 1)
{
t2 = t1;
return;
}
rt (k / 2);
t2 = t2 * t2;
if (k & 1) t2 = t2 * t1;
} int main()
{
scanf ("%d",&n);
if (n == 1)
{
printf("1\n");
return 0;
}
t1.n = 2,t1.m = 2;
t1.t[1][1] = 0, t1.t[1][2] = 1, t1.t[2][1] = 1, t1.t[2][2] = 1;
rt (n - 1);
t3.n = 1,t3.m = 2;
t3.t[1][1] = 1,t3.t[1][2] = 1;
t3 = t3 * t2;
printf ("%d", t3.t[1][1]);
return 0;
}

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