[矩阵乘法]裴波拉契数列II
[
矩
阵
乘
法
]
裴
波
拉
契
数
列
I
I
[矩阵乘法]裴波拉契数列II
[矩阵乘法]裴波拉契数列II
Description
形如 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…的数列,求裴波拉契数列的第n项。
Input
n (1< n <2^31)
Output
一个数为裴波拉契数列的第n项mod 10000;
Sample Input
123456789
Sample Output
4514
题目解析
首先看题面,是斐波那契数列。首先想到递归,但考虑到N的值比较大,就想办法将时间复杂度降到
O
(
l
o
g
N
)
O(logN)
O(logN)以达到目的。
那么怎么将时间复杂度降下来呢?
我们将斐波那契数列的第
n
n
n项定义为
f
(
n
)
f(n)
f(n),然后考虑用矩阵乘法进行一个时间复杂度的优化
那么我们考虑矩阵
⊏
f
[
n
−
2
]
,
f
[
n
−
1
]
⊐
\sqsubset f[n - 2] , f[n - 1]\sqsupset
⊏f[n−2],f[n−1]⊐并利用斐波那契数列的递推关系来得到式子
⊏
f
[
n
]
,
f
[
n
−
1
]
⊐
=
⊏
f
[
n
−
2
]
+
f
[
n
−
1
]
,
f
[
n
−
1
]
⊐
\sqsubset f[n] , f[n - 1]\sqsupset = \sqsubset f[n - 2] + f[n - 1] , f[n - 1]\sqsupset
⊏f[n],f[n−1]⊐=⊏f[n−2]+f[n−1],f[n−1]⊐
然后可以构造出一个
2
∗
2
2 * 2
2∗2的矩阵
T
T
T
∣
0
1
1
1
∣
\begin{vmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{vmatrix}
∣∣∣∣0111∣∣∣∣
然后可以通过
f
[
1
]
,
f
[
2
]
∗
T
=
f
[
2
]
,
f
[
3
]
f[1] , f[2] * T = f[2] , f[3]
f[1],f[2]∗T=f[2],f[3]来实现代码了
Code
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MOD = 10000;
int n;
struct matrix
{
int n, m;
int t[10][10];
}t1, t2, t3;
matrix operator *(matrix t, matrix r)
{
matrix c;
c.n = t.n, c.m = r.m;
for (int i = 1; i <= c.n; ++ i)
for (int j = 1; j <= c.m; ++ j)
c.t[i][j]=0;
for (int k = 1; k <= t.m; ++ k)
for (int i = 1; i <= t.n; ++ i)
for (int j = 1; j <= r.m; ++ j)
c.t[i][j] = (c.t[i][j] + t.t[i][k] * r.t[k][j] % MOD) % MOD;
return c;
}
void rt (int k)
{
if (k == 1)
{
t2 = t1;
return;
}
rt (k / 2);
t2 = t2 * t2;
if (k & 1) t2 = t2 * t1;
}
int main()
{
scanf ("%d",&n);
if (n == 1)
{
printf("1\n");
return 0;
}
t1.n = 2,t1.m = 2;
t1.t[1][1] = 0, t1.t[1][2] = 1, t1.t[2][1] = 1, t1.t[2][2] = 1;
rt (n - 1);
t3.n = 1,t3.m = 2;
t3.t[1][1] = 1,t3.t[1][2] = 1;
t3 = t3 * t2;
printf ("%d", t3.t[1][1]);
return 0;
}
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