题意:

\(F_n\)为斐波那契数列,\(F_1=1,F_2=2\)。

给定一个\(k\),定义数列\(A_i=F_i \cdot i^k\)。

求\(A_1+A_2+ \cdots + A_n\)。

分析:

构造一个列向量,

\({\begin{bmatrix}
F_{i-1}i^0 &
F_{i-1}i^1 &
\cdots &
F_{i-1}i^k &
F_{i}i^0 &
F_{i}i^1 &
\cdots &
F_{i}i^k &
S_{i-1}
\end{bmatrix}}^T\)

转移到列向量:

\({\begin{bmatrix}
F_{i}i^0 &
F_{i}i^1 &
\cdots &
F_{i}i^k &
F_{i+1}i^0 &
F_{i+1}i^1 &
\cdots &
F_{i+1}i^k &
S_{i}
\end{bmatrix}}^T\)

上半部分直接复制到上面去即可,考虑下半部分:

\(F_{i+1}(i+1)^k=(F_{i-1}+F_i)(i+1)^k=F_{i-1}\left [ (i-1)+2 \right ]^k + F_i(i+1)^k=F_{i-1} \sum C_k^j (i-1)^j 2^{k-j} + F_i \sum C_k^j i^j\)

最后\(S_i=S_{i-1}+F_i i^k\)

预处理一下组合数,按照上面的系数构造矩阵即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; typedef long long LL; const LL MOD = 1000000007;
const int maxsz = 90; LL n;
int k, sz; LL mul(LL a, LL b) { return a * b % MOD; }
LL add_mod(LL a, LL b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; return a; }
void add(LL& a, LL b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; } struct Matrix
{
LL a[maxsz][maxsz]; Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < sz; i++)
for(int j = 0; j < sz; j++)
for(int k = 0; k < sz; k++)
add(ans.a[i][j], mul(a[i][k], t.a[k][j]));
return ans;
} void output() {
printf("sz = %d\n", sz);
for(int i = 0; i < sz; i++) {
for(int j = 0; j < sz - 1; j++)
printf("%d ", a[i][j]);
printf("%d\n", a[i][sz - 1]);
}
}
}; Matrix pow_mod(Matrix a, LL p) {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < sz; i++) ans.a[i][i] = 1;
while(p) {
if(p & 1) ans = ans * a;
a = a * a;
p >>= 1;
}
return ans;
} LL C[45][45], a[maxsz]; void process() {
for(int i = 0; i <= 40; i++) C[i][i] = C[i][0] = 1;
for(int i = 2; i <= 40; i++)
for(int j = 1; j < i; j++)
C[i][j] = add_mod(C[i-1][j-1], C[i-1][j]);
} int main()
{
process();
scanf("%lld%d", &n, &k);
sz = k * 2 + 3; for(int i = 0; i <= k; i++) {
a[i] = 1;
a[i + k + 1] = ((1LL << (i + 1)) % MOD);
}
a[sz - 1] = 1; Matrix M;
for(int i = 0; i <= k; i++) M.a[i][i + k + 1] = 1;
for(int i = 0; i <= k; i++)
for(int j = 0; j <= i; j++) {
M.a[i+k+1][j+k+1] = C[i][j];
M.a[i+k+1][j] = mul(C[i][j], ((1LL << (i - j)) % MOD));
}
M.a[sz-1][sz-2] = M.a[sz-1][sz-1] = 1; M = pow_mod(M, n - 1); LL ans = 0;
for(int i = 0; i < sz; i++)
add(ans, mul(M.a[sz-1][i], a[i])); printf("%lld\n", ans); return 0;
}

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