朋友的礼物（英雄会,csdn,高校俱乐部）信封问题，匹配模型

前言： 首先这是一题解，但是重点最代码之后，有耐心的可以直接从代码后看。

上题目：n个人，每个人都有一件礼物想送给他人，他们决定把礼物混在一起，然后每个人随机拿走一件，问恰好有m个人拿到的礼物恰好是自己的概率是多少？ 输出结果四舍五入，保留8位小数，为了保证精度，我们用字符串作为返回类型。
输入：n,m (0<n<100, 0<=m<=n) 例如： n = 2，m = 1，输出：0.00000000； n = 99，m = 0，输出：0.36787944

上代码：

*******************************************************************************/
/* OS           : 3.2.0-58-generic #88-Ubuntu SMP Tue Dec 3 UTC 2013 GNU/Linux
 * Compiler     : g++ (GCC)  4.6.3 (Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5)
 * Encoding     : UTF8
 * Date         :
 * All Rights Reserved by yaolong.
 *****************************************************************************/
/* Description: ***************************************************************
 *****************************************************************************/
/* Analysis: ******************************************************************
 *****************************************************************************/
/*****************************************************************************/
//*
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;
 double jcf(int r){   //计算 1/r! ;
      double res=1;
      for(int i=1;i<=r;i++){

         res*=i;
      }
      return 1/res;

    }
class Test {
public:

    static string calculate (int   n,int   m)
    {
        double r_=jcf(m);
        double res=0;
        for(int i=0;i<=n-m;i++){
            if(i%2==1)
            res-=jcf(i);
            else{
            res+=jcf(i);
            }
        }
        res=res*r_;
        string tmp;
        res=res*100000000;
        int tot=(int)(res+0.5);
        int k=8;
        while(k--){
        tmp.insert(0,1,tot%10+'0');
        tot/=10;
        }
        tmp.insert(0,1,'.');
        tmp.insert(0,1,'0');
        return tmp;
    }
};
//start 提示：自动阅卷起始唯一标识，请勿删除或增加。
int main()

{
    cout<< Test::calculate(36,3)<<endl;
    cout<< Test::calculate(12,6);
    cout<<endl;
    cout<<Test::calculate(99,0)<<endl;
}
//end //提示：自动阅卷结束唯一标识，请勿删除或增加。

本文将以此题引出并解释一下这种匹配问题。

比如 N个信封N封信，k个匹配正确的概率，方法等等。

还有各种变还说法，比如本题的 N个人N份礼物，k个正确的概率。

还有一堆新郎和新娘，k个人选对自己的新娘的组合数等的功能。

这种问题，都源于信封匹配啦。当然这种博文多的是，我也只是在前人的基础上去理解以及解释。

1.先看错位排列的问题。即k=0的情况。

m个朋友，0个人拿对自己的礼物。

我们假设编号从1 到 m,从1号开始拿礼物，这时候1号有m-1个选择，

假设 1号拿到k号的礼物,

1.k如果拿到1的礼物，那么问题就归结到m-2个人的问题，

2.如果k没有拿到1的礼物，则k可以看做是1（因为k不拿1的礼物），问题归结到m-1的问题。

即得到递推式子: A_m = (m-1)*(A_m-1 + A_m-2)用习惯的数列表示就是

A_n =   (n-1)*(A_n-1 + A_n-2);

显然A_1 =0 ,A_2 =1(一个人的时候为0，二个人的时候是1.)

解这种数列的通向公式方法不算少，最基本的一个解法就是用高中的数列手段啦。

A_n -n* A_n-1 = - [ A_n-1  -  (n-1) *  A_n-2 ]

即有

[ A_n - n* A_n-1  ]/[  A_n-1  -  (n-1) *  A_n-2 ]=-1;

记B_n=[A_n- n* A_n-1  ,累乘一下，B_n=(-1)^(n-2) * B_2=(-1)^n (n>=2);

即有

A_n-  n*A_n-1 = (-1)^n;

A_n / (-1)^n   = - n * A_n-1 /(-1)^(n-1) +1;

记C_n= A_n / (-1)^n  ,即解C_n = - n* C_n-1 +1;

求解这个数列，也是高中的数列方法了，C_n= f(n) *C_n-1 +C;

构造h(n)，使得f(n)=h(n-1)/h(n) ，之后转换成 h(n)*C_n = h(n-1)*C_n-1 +C*h(n) ,累加求解就可以了。

对于n显然构造的是 h(n)=1/n!;（为什么？我能说是经验吗？）

之后，这个累加过程我就不写了，最后给出华丽丽的公式：

A_n= n!*[1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^n*1/n!]

而全排列是n! ，所以概率则为 P(n)=A_n/n! =1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^n*1/n!

2.m个人拿对（m!=0）的时候

有了上一步的支持，这个就异常的简单，则C(n,m)*A_n-m 即可

即 F(n,m) = C(n,m)*(n-m)!*[1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^(n-m)*1/(n-m)!]

P(n,m) = F(n,m)/n!=(1/m! )*[1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^(n-m)*1/(n-m)!]

3.对应 英雄会的朋友的礼物，就是套用2的公式，so easy(之前我也看过其他博文写的这题，但是文字太多，看得有点烦。)