《Mathematical Olympiad——数论》——整除
数论这个东西吧,虽说也是高中IMOer玩的数学游戏,颇具美学性的证明比较多。就目前所知,它在算法里是一些加密技术的基础,不多言,开始具体题目的分析。
问题一:已知数列{an},且a0 = 2 , a1 = 1 , a(n+1) = an + a(n-1),证明:若p为a(2k) - 2的素因子,则p也为a(2k+1) - 1的素因子。
分析:通过已知条件,有p | (a(2k) - 2) , 联系其递推式,则有p | {[a(2k+1)-1] - [a(2k-1)+1]}。接下来的部分解释考验数学观察力的时候了,通过计算an各项,我们会归纳出递推式的另外形式——a(2k-1)a(ak+1) = a(2k)^2 - 5。
∴[a(2k+1)-1] * [a(2k-1)+1] = a(2k)^2 - 6 + a(2k+1) - a(2k-1)
=a(2k)^2 +a(2k) - 6
= [a(2k) - 2][a(2k)+3]
∵p | (a(2k) - 2)
∴p | [a(2k+1)-1] * [a(2k-1)+1]
又∵p | {[a(2k+1)-1] - [a(2k-1)+1]}
∴p | a(2k+1)-1 且 p | a(2k-1)+1
证毕。
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