ABC209 E Shiritori

考虑对这个问题进行转化：

显然我们只关注每个串前三个棋子和后三个棋子，并且根据题目的特性，我们可以将任意的三个字符看作点，将一个字符串看作连接两个点的边，这样我们得到了一张点数为 \(52 ^ 3\)，边数为 \(n\) 的有向图。

此时问题就转化为：两个人在一张有向图上博弈，轮流操作。有一个棋子在点上，每次可以将该棋子移动到一个后继节点，不能动的人输。在先手后手都走最优策略的情况下，请问棋子一开始在每个节点最终局面的输赢 / 平局状态。

如果该图为一张 \(\rm DAG\)，那么这个问题非常简单，若存在环，问题就变得复杂了。

但不论问题如何变化，这依然满足博弈论状态的转移关系。

我们类似 \(\rm DAG\) 的做法令 \(f_i\) 为棋子在节点 \(i\) 开始为必胜（1），必败（0），平局（-1）。

对于每个节点，若节点 \(i\) 的后继存在一个必败态节点，那么该点为必胜态；若节点 \(i\) 的所有后继均为必胜态，那么该点为必败态。

据此，我们先通过能确定的点将该图所有必胜态必败态的节点求出（因为这些节点的后继一定不存在节点状态不确定）。

此时我们发现，那些没有确定状态的点，后继中确定了状态的点一定是必胜且一定存在一个点没有确定状态。

注意到任何一个人都不会直接移到必胜态上去，因此双方都只会移到不确定的状态上去。

此时就会在不确定的状态上开始无限循环操作，因此所有没有确定状态的节点都是平局节点。

可以发现上述做法的复杂度瓶颈在于求出可以确定状态的节点，这部分用类似拓扑排序的方式是 \(\mathcal{O}(n)\) 的。