Momentum and NAG

目录

• Momentum
• Nesterov accelerated gradient
• NESTEROV 的另外一个方法？

Momentum

Momentum的迭代公式为：

\[v_t = \gamma v_{t-1} + \eta \nabla_\theta J(\theta) \\
\theta=\theta-v_t
\]

其中\(J(\cdot)\)一般为损失函数。我们知道，一般的梯度下降，是没有\(\gamma v_{t-1}\)这一项的，有了这一项之后，\(\theta\)的更新和前一次更新的路径有关，使得每一次更新的方向不会出现剧烈变化，所以这种方法在函数分布呈梭子状的时候非常有效。



先来看看这个函数利用梯度下降的效果吧。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

"""
z = x^2 + 50 y ^2
2x
100y
"""

partial_x = lambda x: 2 * x
partial_y = lambda y: 100 * y
partial = lambda x: np.array([partial_x(x[0]),
                              partial_y(x[1])])
f = lambda x: x[0] ** 2 + 50 * x[1] ** 2

class Decent:
    def __init__(self, function):
        self.__function = function

    @property
    def function(self):
        return self.__function

    def __call__(self, x, grad, alpha=0.4, beta=0.7):
        t = 1
        fx = self.function(x)
        dist = - grad @ grad
        while True:
            dx = x - t * grad
            fdx = self.function(dx)
            if fdx <= fx + alpha * t * dist:
                break
            else:
                t *= beta
        return dx

grad_decent = Decent(f)

x = np.array([30., 15.])
process = []
while True:
    grad = partial(x)
    if np.sqrt(grad @ grad) < 1e-7:
        break
    else:
        process.append(x)
        x = grad_decent(x, grad)

process = np.array(process)
print(len(process))
x = np.linspace(-40, 40, 1000)
y = np.linspace(-20, 20, 500)
fig, ax= plt.subplots()
X, Y = np.meshgrid(x, y)
ax.contour(X, Y, f([X, Y]), colors='black')
ax.plot(process[:, 0], process[:, 1])
plt.show()

怎么说呢，有点震荡？289步1e-7的误差

x = np.array([30., 15.])
process = []
v = 0
gamma = 0.7
eta = 0.016
while True:
    grad = partial(x)
    v = gamma * v + eta * grad
    if np.sqrt(grad @ grad) < 1e-7:
        break
    else:
        process.append(x)
        x = x - v

用117步，话说，这个参数是不是难调啊，感觉一般\(\eta\)很小啊。

还有一个很赞的分析，在博客：

路遥知马力-Momentum

Nesterov accelerated gradient

比Momentum更快：揭开Nesterov Accelerated Gradient的真面目

NGD的迭代公式是：

\[v_t = \gamma v_{t-1} + \eta \nabla_\theta J(\theta - \gamma v_{t-1}) \\
\theta = \theta-v_t
\]

和上面的区别就是，第\(t\)步更新，我们关心的是下一步(一个近似）的梯度，而不是当前点的梯度，我之前以为这是有一个搜索的过程的，但是实际上没有，所以真的是这个式子具有前瞻性？或许真的和上面博客里说的那样，因为后面的部分可以看成一个二阶导的近似。

x = np.array([30., 15.])
process = []
v = 0
gamma = 0.7
eta = 0.013
while True:
    grad = partial(x-gamma*v)
    v = gamma * v + eta * grad
    if np.sqrt(grad @ grad) < 1e-7:
        break
    else:
        process.append(x)
        x = x - v

感觉没有momentum好用啊

NESTEROV 的另外一个方法？

在那个overview里面，引用的是

文献链接

但是里面的方面感觉不是NGD啊，不过的确是一种下降方法，所以讲一下吧。

假设\(f(x)\)满足其一阶导函数一致连续的凸函数，比如用以下条件表示：

\[\|f'(x)-f'(y)\| \le L\|x-y\|, \forall x, y \in E
\]

由此可以推得(不晓得这个0.5哪来的，虽然有点像二阶泰勒展式，但是呢，凸函数好像没有这性质吧，去掉0.5就可以直接证出来了，而且这个0.5对证明没有什么大的影响吧，因为只要让L=0.5L就可以了啊)：

\[f(y) \le f(x) + <f'(x), y-x>+0.5L\|y-x\|^2 \quad (2)
\]

为了解决\(\min \{f(x)|x\in E\}\)，且最优解\(X^*\)非空的情况，我们可以：

1. 首先选择一个点\(y_0 \in E\),并令

\[k=0, a_0=1, x_{-1}=y_0, \alpha_{-1}=\|y_0-z\|/\|f'(y_0)-f'(z)\|
\]

其中\(z\)是E中不同于\(y_0\)的任意点，且\(f'(y_0) \ne f'(z)\)

1. 第k 步：
   
   a) 计算最小的\(i\)满足：
   \[\]
   \[\]
   \[\]

   a_{k+1} = (1+ \sqrt{4a_k^2 + 1})/2 \
   
   y_{k+1} = x_k + (a_k - 1)(x_k - x_{k-1}) / a_{k+1} .

   \[
   \]

即在满足上面提到的假设，且利用上面给出的方法所求，可以证明，对于任意的\(k\ge 0\):

\[f(x_k) - f^* \le C / (k+2)^2
\]

其中\(C = 4L\|y_0 - x^*\|^2\)并且\(f^*=f(x^*), x^* \in X^*\)。

还有一些关于收敛步长的分析就不贴了。

证明：

令\(y_k(\alpha) - \alpha f'(y_k)\), 可以得到(通过(2))：

\[f(y_k) - f(y_k (\alpha)) \ge 0.5 \alpha (2 - \alpha L) \|f'(y_k)\|^2
\]

结果就是， 只要\(2^{-i} \alpha_{k-1} \le L^{-1}\)，不等式(4)就成立，也就是说\(\alpha_k \ge 0.5L^{-1}， \forall k \ge 0\), 否则\(2^{-i} \alpha_{k-1} > L^{-1}\)。

令\(p_l = (a_k-1)(x_{k-1}-x_k)\)，则\(y_{k+1}=x_k - p_k / a_{k+1}\),于是：

\[p_{k+1} - x_{k+1} = p_k - x_k + a_{k+1} \alpha_{k+1} f'(y_{k+1})
\]

于是：

\[\begin{array}{ll}
\|p_{k+1}-x_{k+1}+x^*\|^2
&= \|p_k - x_k + x^*\|^2 + 2(a_{k+1}-1)\alpha_{k+1} <f'(y_{k+1}, p_k> \\
& + 2a_{k+1} \alpha_{k+1} <f'(y_{k+1}, x^* - y_{k+1}> + a_{k+1}^2 \alpha_{k+1}^2 \|f'(y_{k+1})\|^2
\end{array}
\]

利用不等式(4)和\(f(x)\)的凸性，可得：

\[\begin{array}{ll}
<f'(y_{k+1}), y_{k+1} - x^*> &\ge f(x_{k+1}) - f^* + 0.5 \alpha_{k+1} \|f'(y_{k+1})\|^2 (5)\\
0.5 \alpha_{k+1} \|f'(y_{k+1})\|^2 &\le f(y_{k+1}) - f(x_{k+1}) \le f(x_k) - f(x_{k+1}) \\
& \quad -a_{k+1}^{-1} <f'(y_{k+1}, p_k> (6)
\end{array}
\]

其中第一个不等式，先利用凸函数得性质：

\[f^* \ge f(y_{k+1}) + <f'(y_{k+1}), x^*-y_{k+1})
\]

再利用不等式(4):

\[f(y_{k+1}) - f(x_{k+1}) \ge 0.5 \alpha_{k+1}\|f'(y_{k+1})\|^2
\]

代入这俩个不等式可得：

\[\begin{array}{ll}
& \|p_{k+1} - x_{k+1}+x^*\|^2 - \|p_k - x_k + x^*\|^2 \le 2(a_{k+1}-1)\alpha_{k+1}<f'(y_{k+1}), p_k> \\
& \quad -2a_{k+1}\alpha_{k+1} (f(x_{k+1} - f^*) + (a_{k+1}^2 - a_{k+1})\alpha_{k+1}^2 \|f'(y_{k+1})\|^2 \\
& \quad \le -2a_{k+1} \alpha_{k+1} (f (x_{k+1}) - f^*) + 2(a_{k+1}^2 - a_{k+1}) \alpha_{k+1}(f(x_k)-f(x_{k+1})) \\
& \quad = 2\alpha_{k+1} a_k^2 (f(x_k)-f^*) - 2\alpha_{k+1} a_{k+1}^2 (f(x_{k+1}） - f^*) \\
& \quad \le 2\alpha_k a_k^2 (f(x_k)-f^*) - 2\alpha_{k+1} a_{k+1}^2 (f(x_{k+1}) -f^*)
\end{array}
\]

其中第一个不等式用到了(5), 第二个不等式用到了(6), 等式用到了\(a_{k+1}^2-a_{k+1}=a_k^2\),最后一步用到了\(\alpha_k \le \alpha_{k+1}\)且\(f(x_k) \ge f^*\)。

因此：

\[\begin{array}{ll}
& 2\alpha_{k+1}a_{k+1}^2 ( f(x_{k+1}) - f^*) \le 2\alpha_{k+1} a_{k+1}^2 (f(x_{k+1})-f^*) + \|p_{k+1}-x_{k+1} + x^*\|^2 \\
& \le 2 \alpha_k a_k (f(x_k)-f^*) + \|p_k -x_k + x^*\|^2 \\
& \le 2\alpha_0 a_0^2 (f(x_0) - f^*) + \|p_0 - x_0 + x^*\|^2 \le \|y_0-x^*\|^2.
\end{array}
\]

最后一个不等式成立是因为\(p_0 = 0, x_0=y_0\),左边第一项大于等于0.

又\(\alpha_k \ge 0.5L^{-1}, a_{k+1}\ge a_k + 0.5 \ge 1 + 0.5(k+1)\)，所以：

\[f(x_{k+1}) - f^* \le C/(k+3)^2
\]

证毕。

class Decent:
    def __init__(self, function, grad):
        self.__function = function
        self.__grad = grad
        self.process = []

    @property
    def function(self):
        return self.__function

    @property
    def grad(self):
        return self.__grad

    def __call__(self, y, z):
        def find_i(y, alpha):
            i = 0
            fy = self.function(y)
            fdy = self.grad(y)
            fdynorm = fdy @ fdy
            while True:
                temp = self.function(y - 2 ** (-i) * alpha * fdy)
                if fy - temp > 2 ** (-i -1) * alpha * fdynorm:
                    return i, fdy
                else:
                    i += 1
        a = 1
        x = y
        fdy = self.grad(y)
        fdz = self.grad(z)
        alpha = np.sqrt((y-z) @ (y-z) /
                        (fdy-fdz) @ (fdy - fdz))
        k = 0
        while True:
            k += 1
            self.process.append(x)
            i, fdy = find_i(y, alpha)
            if np.sqrt(fdy @ fdy) < 1:
                print(k)
                return x
            alpha = 2 ** (-i) * alpha
            x_old = np.array(x, dtype=float)
            x = y - alpha * fdy
            a_old = a
            a = (1 + np.sqrt(4 * a ** 2 + 1)) / 2
            y = x + (a_old - 1) * (x - x_old) / a

grad_decent = Decent(f, partial)

x = np.array([30., 15.])
z = np.array([200., 10.])
grad_decent(x, z)
process = np.array(grad_decent.process)
x = np.linspace(-40, 40, 1000)
y = np.linspace(-20, 20, 500)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
fig, ax = plt.subplots()
ax.contour(X, Y, f([X, Y]), colors="black")
ax.scatter(process[:, 0], process[:, 1])
ax.plot(process[:, 0], process[:, 1])
plt.show()

用了30步就能到达上面的情况，不过呢，如果想让\(\|f'(x)\|\le 1e-7\)得1000多步，主要是因为会来回振荡。