洛谷 P6276 - [USACO20OPEN]Exercise P（组合数学+DP）

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废了，又不会做/ll

orz czx 写的什么神仙题解，根本看不懂（%%%%%%%%%

首先显然一个排列的贡献为其所有置换环的乘积。考虑如何算之。

碰到很多数的 LCM 之积只有两种可能，一是 Min-Max 容斥将 LCM 转化为 GCD，而是枚举质因子及其次数算贡献。但对于此题而言前者不是太可做（可能有复杂度不错（大概 \(n^2d(n)\)？）的解法，不过我没有细想所以也不太清楚），因此考虑后者。

考虑用类似于差分的思想，对于每个质因子 \(p\) 的每个次数 \(k\)，我们考虑计算一下存在一个置换环大小为 \(p^k\) 的排列个数 \(c\)，那么我们令答案乘以 \(p^c\)，不难发现对于一个排列，如果其置换环大小中 \(p\) 次数最多的一项的次数为 \(k'\)，那么它的贡献会在 \(k=1,2,3,\cdots,k'\) 处各被算一次，因此这样计算恰好可以算到所有置换环的贡献。于是限制问题转化为，如何求有多少个排列，满足其至少有一个置换环大小为 \(x=p^k\) 的倍数。

考虑从反面入手，即计算有多少个长度为 \(n\) 的排列不含任何长度为 \(x\) 的置换环，设其为 \(f_n\)。那么这个子问题的答案就是 \(n!-f_n\)。那么如何求 \(f_i\) 呢？我们再从反面入手，计算一下含有长度为 \(x\) 的置换环的排列个数（为什么要一来一回搞两次反面呢？因为直接做递推式中需要用到 \(f_i\)），那么我们枚举长度为 \(x\) 的置换环的长度之和 \(j\)，设 \(g_j\) 表示有多少个长度为 \(j\) 的排列满足其每个置换环大小都是 \(x\) 的倍数，那么有 \(f_i=i!·\sum\limits_{j\in[1,i]}\dbinom{i}{j}g_jf_{i-j}\)，组合数表示分配 \(j\) 个数给大小是 \(x\) 的倍数的置换环的方案数，一目了然。接下来考虑如何求 \(g_i\)，我们枚举 \(1\) 所在的置换环的大小 \(j\)，类似地有 \(\sum\limits_{j\in[1,i]}g_{i-j}\dbinom{i-1}{j-1}(j-1)!\)。注意到只有 \(x\mid i\) 时 \(g_i\ne 0\)，因此有用的 \(f,g\) 各只有 \(\dfrac{n}{x}\) 个，也就保证了复杂度。这部分可能可以容斥，不过没有细想（

总复杂度 \(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{n^2}{i^2}=\mathcal O(n^2)\)，因为 \(\sum\limits_{n>0}\dfrac{1}{n^2}<2\)。

const int MAXN=7500;
int n,mod,phi,c[MAXN+5][MAXN+5],fac[MAXN+5];
int qpow(int x,int e){
	int ret=1;
	for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%mod) if(e&1) ret=1ll*ret*x%mod;
	return ret;
}
int pr[MAXN/5+5],prcnt=0,vis[MAXN+5];
void sieve(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) pr[++prcnt]=i;
		for(int j=1;j<=prcnt&&pr[j]*i<=n;j++){
			vis[pr[j]*i]=1;if(i%pr[j]==0) break;
		}
	}
}
int f[MAXN+5],g[MAXN+5];
int calc(int x){
	memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));g[0]=1;
	for(int i=x;i<=n;i+=x) for(int j=x;j<=i;j+=x) g[i]=(g[i]+1ll*c[i-1][j-1]*g[i-j]%phi*fac[j-1])%phi;
//	for(int i=x;i<=n;i+=x) printf("%d %d\n",i,g[i]);
	for(int i=n%x;i<=n;i+=x){
		f[i]=fac[i];
		for(int j=x;j<=i;j+=x) f[i]=(f[i]-1ll*f[i-j]*g[j]%phi*c[i][j]%phi+phi)%phi;
	} return (fac[n]-f[n]+phi)%phi;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&mod);phi=mod-1;sieve(n);
	for(int i=(fac[0]=1);i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%phi;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%phi;
	} int res=1;
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",calc(i));
	for(int i=1;i<=prcnt;i++) for(int j=pr[i];j<=n;j*=pr[i])
		res=1ll*res*qpow(pr[i],calc(j))%mod;
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}