Solution -「ARC 063D」「AT 2149」Snuke's Coloring 2

\(\mathcal{Decription}\)

  Link.

  平面上有一个左下角坐标 \((0,0)\) 右上角坐标 \((W,H)\) 的矩形，起初长方形内部被涂白。

现在给定 \(n\) 个点，你每次在以下 \(4\) 种操作中选择一种：

• 将矩形内 \(x<x_i\) 的区域涂黑；
• 将矩形内 \(x>x_i\) 的区域涂黑；
• 将矩形内 \(y<y_i\) 的区域涂黑；
• 将矩形内 \(y>y_i\) 的区域涂黑。

  最大化操作后白色矩阵周长。

  \(n\le3\times10^5\)，\(W,H\le10^8\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  就挺 amazing 的题呐。

  题意等价于求周长最大的矩形，使得矩形内不包含任意一个点。

  首先，答案有下界 \(2\max\{H,W\}+2\)。考虑一个周长超过该下界的矩形，它一定跨过 \(y=\frac{H}2\) 或 \(x=\frac{W}2\)，所以只需要分别求出跨过着两条直线的周长最大的合法矩形。下以跨过 \(l:y=\frac{H}2\) 的情形为例。

  从左到右用一条扫描线，设当前 \(x=x_0\) 轴上高于 \(l\) 的最低点离 \(l\) 的距离为 \(u\)，低于 \(l\) 的最高点离 \(l\) 的距离为 \(d\)，那么当矩形过 \(x=x_0\) 时，高度 \(\le u+d\)。

  接下来，把从 \(x_1\) 到 \(x_2\) 的横向宽度表达为 \((W-x_1)-(W-x_2)\)，然后线段树维护矩形左边界为 \(x=x_0\) 时，高度 \(+(W-x_1)\) 的值。用单调递减的单调栈维护 \(u\) 和 \(d\)，弹栈时修改一段区间的值，最后求前缀最大值即可。（建议参照代码理解。）

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <stack>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

inline int rint () {
	int x = 0; char s = getchar ();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar () );
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar () ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
	return x;
}

inline int min_ ( const int a, const int b ) { return a < b ? a : b; }
inline int max_ ( const int a, const int b ) { return a < b ? b : a; }

const int MAXN = 3e5;
int n, W, H, x[MAXN + 5], up[MAXN + 5], dn[MAXN + 5];
std::stack<int> stku, stkd;

struct Point {
	int x, y;
	inline bool operator < ( const Point& p ) const { return x < p.x; }
} p[MAXN + 5];

struct SegmentTree {
	int mx[MAXN << 2], tag[MAXN << 2];

	inline void pushup ( const int rt ) {
		mx[rt] = max_ ( mx[rt << 1], mx[rt << 1 | 1] );
	}

	inline void pushdn ( const int rt ) {
		int& k = tag[rt];
		if ( !k ) return ;
		mx[rt << 1] += k, tag[rt << 1] += k;
		mx[rt << 1 | 1] += k, tag[rt << 1 | 1] += k;
		k = 0;
	}

	inline void clear ( const int rt, const int l, const int r ) {
		mx[rt] = tag[rt] = 0;
		if ( l == r ) return ;
		int mid = l + r >> 1;
		clear ( rt << 1, l, mid ), clear ( rt << 1 | 1, mid + 1, r );
	}

	inline void update ( const int rt, const int l, const int r,
		const int ul, const int ur, const int uv ) {
		if ( ul <= l && r <= ur ) return mx[rt] += uv, tag[rt] += uv, void ();
		int mid = l + r >> 1; pushdn ( rt );
		if ( ul <= mid ) update ( rt << 1, l, mid, ul, ur, uv );
		if ( mid < ur ) update ( rt << 1 | 1, mid + 1, r, ul, ur, uv );
		pushup ( rt );
	}

	inline int query ( const int rt, const int l, const int r,
		const int ql, const int qr ) {
		if ( ql <= l && r <= qr ) return mx[rt];
		int mid = l + r >> 1, ret = 0; pushdn ( rt );
		if ( ql <= mid ) ret = query ( rt << 1, l, mid, ql, qr );
		if ( mid < qr ) ret = max_ ( ret, query ( rt << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr ) );
		return ret;
	}
} segt;

inline int solve ( const int n, const int W, const int H ) {
	if ( !n ) return 0;
	int mid = H >> 1, cnt = 0, ret = 0;
	for ( ; !stku.empty (); stku.pop () );
	for ( ; !stkd.empty (); stkd.pop () );
	segt.clear ( 1, 1, n );
	stku.push ( 0 ), stkd.push ( 0 );
	for ( int i = 1; i <= n; ) {
		x[++ cnt] = p[i].x;
		up[cnt] = H - mid, dn[cnt] = mid;
		for ( ; i <= n && p[i].x == x[cnt]; ++ i ) {
			if ( p[i].y >= mid ) up[cnt] = min_ ( up[cnt], p[i].y - mid );
			if ( p[i].y <= mid ) dn[cnt] = min_ ( dn[cnt], mid - p[i].y );
		}
		int las;
		while ( up[las = stku.top ()] > up[cnt] ) {
			stku.pop ();
			segt.update ( 1, 1, n, stku.top () + 1, las, up[cnt] - up[las] );
		}
		stku.push ( cnt );
		while ( dn[las = stkd.top ()] > dn[cnt] ) {
			stkd.pop ();
			segt.update ( 1, 1, n, stkd.top () + 1, las, dn[cnt] - dn[las] );
		}
		stkd.push ( cnt );
		segt.update ( 1, 1, n, cnt, cnt, W - x[cnt - 1] + up[cnt] + dn[cnt] );
		ret = max_ ( ret, segt.query ( 1, 1, n, 1, cnt ) - W + p[i].x );
	}
	return ret;
}

int main () {
	W = rint (), H = rint (), n = rint ();
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		p[i].x = rint (), p[i].y = rint ();
		if ( !p[i].x || p[i].x == W || !p[i].y || p[i].y == H ) -- i, -- n;
	}
	int ans = 0;
	std::sort ( p + 1, p + n + 1 ), p[n + 1].x = W;
	for ( int i = 1; i <= n + 1; ++ i ) {
		ans = max_ ( ans, H + p[i].x - p[i - 1].x );
	}
	ans = max_ ( ans, solve ( n, W, H ) );
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) p[i].x ^= p[i].y ^= p[i].x ^= p[i].y;
	std::sort ( p + 1, p + n + 1 ), p[n + 1].x = H;
	for ( int i = 1; i <= n + 1; ++ i ) {
		ans = max_ ( ans, W + p[i].x - p[i - 1].x );
	}
	ans = max_ ( ans, solve ( n, H, W ) );
	printf ( "%d\n", ans << 1 );
	return 0;
}