【BZOJ5020】【THUWC2017】在美妙的数学王国中畅游（Link-Cut Tree，组合数学）

题解

Description

数字和数学规律主宰着这个世界。

机器的运转，

生命的消长，

宇宙的进程，

这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。

这印证了一句古老的名言：

“学好数理化，走遍天下都不怕。”

学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：

正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

Input

第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。

表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。

typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。

其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。

接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。

一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若

f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。

appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。

disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。

magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数

travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v

（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。

若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。

1≤n≤100000,1≤m≤200000

Output

对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。

Sample Input

3 7 C1

1 1 0

3 0.5 0.5

3 -0.5 0.7

appear 0 1

travel 0 1 0.3

appear 0 2

travel 1 2 0.5

disappear 0 1

appear 1 2

travel 1 2 0.5

Sample Output

9.45520207e-001

1.67942554e+000

1.20000000e+000

题解

我拿到的题目底下还提供了一个泰勒展开的公式。。。

\[f(x)=\sum_{i=0}^k\frac{f^{(i)}(x0)*(x-x0)^i}{i!}
\]

其中$f^{(i)}$表示$i$阶导

因为$i!$增长得很快，大概取$k=12$就可以满足精度的要求

现在方法就很明朗了

首先，对于动态的维护边，很显然用Link-Cut Tree

所求是$$\sum_{i∈<u,v>}F(IQ)$$

相当于$IQ$是一个定值

那么，也就是说，上面的泰勒展开的公式中

每一项的$\frac{(x-x0)^i}{i!}$是可以直接提取出来的

所以，LCT直接维护每一个子树上的0阶导一直到15阶导之和

而$x0$的取可以取得比较随意一点（建议取0.5）

这样的话就可以解决这道题目了

其中LCT的复杂度$O(nlogn)$

而每次维护15个导，相当于增加了一个巨大的常数而已

每个点5s，BZOJ上总计80s，还是戳戳有余的

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

const double Pi=acos(-1);

const double E=pow(2,1/log(2));

#define MAX 120000

char type[10];

int F[MAX];

double a[MAX],b[MAX];

int n,m;

double Extra(int k,double x)

{

	if(F[k]==1)return sin((a[k]*x+b[k]));

	if(F[k]==2)return pow(E,a[k]*x+b[k]);

	if(F[k]==3)return a[k]*x+b[k];

}

struct Node

{

	int ch[2],ff;

	int rev;

	double s[15];

}t[MAX<<1];

int S[MAX],top;

bool isroot(int x){return t[t[x].ff].ch[0]!=x&&t[t[x].ff].ch[1]!=x;}

void pushup(int x)

{

	if(F[x]==2)

	{

		t[x].s[0]=pow(E,0.5*a[x]+b[x]);

		for(int i=1;i<15;++i)t[x].s[i]=t[x].s[i-1]*a[x];

	}

	else if(F[x]==1)

	{

		t[x].s[0]=sin(a[x]*0.5+b[x]);

		t[x].s[1]=cos(a[x]*0.5+b[x])*a[x];

		for(int i=2;i<15;++i)t[x].s[i]=t[x].s[i-2]*(-a[x]*a[x]);

	}

	else if(F[x]==3)

	{

		t[x].s[0]=0.5*a[x]+b[x];

		t[x].s[1]=a[x];

		for(int i=2;i<15;++i)t[x].s[i]=0;

	}

	for(int i=0;i<15;++i)t[x].s[i]+=t[t[x].ch[0]].s[i]+t[t[x].ch[1]].s[i];

}

void rotate(int x)

{

	int y=t[x].ff,z=t[y].ff;

	int k=t[y].ch[1]==x;

	if(!isroot(y))t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].ff=z;

	t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].ff=y;

	t[x].ch[k^1]=y;t[y].ff=x;

	pushup(y);pushup(x);

}

void pushdown(int x)

{

	if(!t[x].rev)return;

	swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);

	t[t[x].ch[0]].rev^=1;

	t[t[x].ch[1]].rev^=1;

	t[x].rev^=1;

}

void Splay(int x)

{

	S[top=1]=x;

	for(int i=x;!isroot(i);i=t[i].ff)S[++top]=t[i].ff;

	while(top)pushdown(S[top--]);

	while(!isroot(x))

	{

		int y=t[x].ff,z=t[y].ff;

		if(!isroot(y))

			(t[y].ch[1]==x)^(t[z].ch[1]==y)?rotate(x):rotate(y);

		rotate(x);

	}

}

void access(int x){for(int y=0;x;y=x,x=t[x].ff)Splay(x),t[x].ch[1]=y,pushup(x);}

void makeroot(int x){access(x);Splay(x);t[x].rev^=1;}

void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);Splay(y);}

void cut(int x,int y){split(x,y);t[y].ch[0]=t[x].ff=0;pushup(y);}

void link(int x,int y){makeroot(x);t[x].ff=y;}

int findroot(int x){access(x);Splay(x);while(t[x].ch[0])x=t[x].ch[0];return x;}

int tot;

double ans;

double T;

int main()

{

	freopen("math.in","r",stdin);

	freopen("math.out","w",stdout);

	scanf("%d%d%s",&n,&m,type);

	for(int i=1;i<=n;++i)

		scanf("%d%lf%lf",&F[i],&a[i],&b[i]);

	char ch[20];

	int u,v;

	while(m--)

	{

		scanf("%s",ch);

		if(ch[0]=='a')

		{

			scanf("%d%d",&u,&v);u++;v++;

			link(u,v);

		}

		else if(ch[0]=='d')

		{

			scanf("%d%d",&u,&v);u++;v++;

			cut(u,v);

		}

		else if(ch[0]=='m')

		{

			scanf("%d",&u);u++;

			makeroot(u);

			scanf("%d%lf%lf",&F[u],&a[u],&b[u]);

			pushup(u);

		}

		else

		{

			scanf("%d%d%lf",&u,&v,&T);u++;v++;

			if(findroot(u)!=findroot(v))puts("unreachable");

			else

			{

				ans=0;

				split(u,v);

				double p1=1,p2=1;

				for(int i=0;i<15;++i)ans+=t[v].s[i]*p2/p1,p1*=(i+1),p2*=(T-0.5);

				printf("%.8e\n",ans);

			}

		}

	}

	return 0;

}