网络流学习（转载自ssw 的博客）

众所周知，网络流是探究网络上运输的一种图论分支。但是大多数人在第一次接触这个题时都有些畏惧感（~~比如说我~~），大佬可以自信跳过..

本文包括:

1.网络流的概念及基本性质

2.略谈 Edmonds-Karp增广路算法

3.详谈 Dinic 算法

4.网络流的应用以及ISAP算法引入

1 . 网络流的概念及基本性质

网络流是图论的一种重要分支，我们可以将网络流初步理解为一种水道一样的网络。

基本定义： （部分参考《算法竞赛进阶指南》）

对于一个网络 G = (V , E )G=(V,E) 为一张有向图，图中的每条有向边 ( X,Y)∉E(X,Y)∉E , 则 C(X,Y) = 0C(X,Y)=0 。图中还有两个节点 S , TS,T 十分特殊，我们将其称为源点和汇点。

我们将 ff 函数称作网络的流函数。

对于 (X,Y)∈E , f(X,Y)(X,Y)∈E,f(X,Y) 称为边的流量， C(X,Y) - f(X,Y)C(X,Y)−f(X,Y) 称为边的剩余流量。

知道大佬们都不想看，那么直接一点。

假设有一片有向的水域，有多条有向的河流，河流都从 SS 点出发，最终都汇向 TT 点。每条河流有一定的宽度，只允许最多不超过该条河流边权值的水流通过。

如上图，蓝点为源点，红点为汇点。而紫色点和紫色边显然无用，选择不流过紫色。

默认 S 点的水量有无限多。

在初步了解后，按照流函数的定义，一个网络中的每条边实际上都有一条反向边，并且这些反向边都有一个负的流量，这个定义将有助于我们解决之后的回溯问题。

基本性质：

1.容量限制

任意一条边的流量必定小于它的容量（及它的边权）。

2.斜对称定理

一条边 (X,Y)(X,Y) 中 XX 到 YY 的流量必定与其反边 (Y,X)(Y,X) 中 YY 到 XX 的流量相反。

3.流量守恒定理

除了源点 SS 和汇点 TT 外，任意节点的流入总量都等于流出总量。即不会存储流量。

2.略谈 Edmonds-Karp增广路算法

学习过匈牙利算法的同学已经了解增广路的定义，没有的话建议先 AA 掉P3386 【模板】二分图匹配，将有利于理解本文（~~貌似没有关联~~）。

但是增广路此时的定义为：

一条增广路从源点 SS 到汇点 TT 的路径上各边的剩余流量的最小值大于 0 。

而Edmonds-Karp增广路算法（下列简称EK算法）的思路就是对该网络进行BFS，不断找出其增广路，直至将该网络上的所有增广路全部找出。

EK算法的正确性显然，在这里就不给出详细证明。（有兴趣者可参考《算法竞赛进阶指南》）。

EK算法具体实现过程如下：

1 . 用BFS在网络上寻找可行增广路。

2 . 在BFS找到任意一条增广路时计算出该增广路上各边剩余流量的最小值 min 。

3 . 最大流 maxflowmaxflow 的值增加 min ,如此往复直至BFS找不增广路。

给出图及图的最大流 7 作参考

代码暂未上传。

但是EK算法存在明显的局限性，及每次更新都要从头到尾BFS一下，只能解决 O(nm^2)O(nm2) 的网络。

于是我们又有下面这个经一步优化的算法。

3.详谈 Dinic 算法

之所以详谈Dinic算法，是因为Dinic算法是代码较简单，较容易实现并且效率极高的网络流算法之一，它对于普通的网络图，处理范围可以达到 10^4 - 10^5104−105 。而相比之下，EK算法仅有 10^3 - 10^4103−104 的处理范围。

并且某位大师推演出Dinic算法在二分图中的复杂度仅有 m \sqrt{n}mn ，所以可以在二分图中愉快地跑网络流啦。上一道例题P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏，熟练后可以切了它。

我们先介绍一下Dinic算法的核心之一：残量网。

残量网是指在当前网络中的所有节点以及剩余容量大于 00 的边构成的子图。

但是有了残量网还不够，要精准判断残量网上两点 X,YX,Y 的关系，即判断它们是否有环之类神奇的边，我们还要借助满足 d[y] = d[x] + 1d[y]=d[x]+1 的分层图。

Dinic算法思路：

1 . 开一个队列，在残量网中BFS一次，按照遍历层数为每个点表上层次 d[ x ]d[x] ，构造分层图并且判断能否从源点 SS到达汇点 TT 。如果失败则说明残量网无法到达汇点。

2 . 在构造好的残量网上DFS寻找增广路并且，更新边及反边，（否则DFS无法后悔）。

3 . 不断重复 1 2 步骤直至构造的残量网无法到达汇点。

实践是检验真理的唯一标准

模板题P3376 【模板】网络最大流

AC 代码及讲解：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const  int  inf =  0x3f3f3f3 , N =  +   ;

int  head[ N* ], d[ N ] , to[ N** ] , w[ N** ] , next[ N** ]  ;

int  n , m , s, t , tot =  , maxflow =  ;//maxflow记录答案 

inline int read()

{

    int s = ,w = ;

    char g = getchar();

    while(g<''||g>''){if(g=='-')w*=-;g = getchar();}

    while(g>=''&&g<=''){s = s*+g-'';g = getchar();}

    return s*w;

}

queue<int> q ;//广搜时采用队列

void  add( int  x , int  y , int  z ){

    tot++; to[ tot ] = y , w[ tot ] = z , next[ tot ] = head[ x ] , head[ x ] = tot;

    tot++; to[ tot ] = x , w[ tot ] =  , next[ tot ] = head[ y ] , head[ y ] = tot;

}//建立边和反向边，注意反向边的流量初始为 0 

bool  bfs(){//在残量网络上构造分层图

    memset( d ,  , sizeof(d) ) ; //将之前的分层清0，继续跑残量网络找可行增广路

    while( q.size() ) q.pop() ; //队列清 0 ;

    q.push( s ) ; d[ s ] =  ; //将源点加入队列，层数为 1 ，开始广搜

    while( q.size() ){

        int  x = q.front() ; q.pop() ;

        for( int  i = head[ x ] ; i ; i = next[ i ])

            if( w[ i ] && !d[ to[i] ] ){//目标边的流量不为0 且 为被遍历分层

                q.push( to[ i ] ) ;

                d[ to [ i ] ] = d[ x ] + ;

                if( to[ i ] == t )return  ; //找到一条可行增广路

            }

    }

    return  ;//未找到，不存在增广路

}

int  dinic( int  x , int  flow ){ //在分层图上进行增广

    if( x == t )return flow ;//源点即使汇点，流量不限量

    int  rest = flow , k ;

    for( int  i = head[ x ] ; i && rest ; i = next[ i ] )//当前可流入最大流量不为0 ,

        if( w[ i ] && d[ to [ i ] ] == d[ x ] +  ){//目标路径有剩余流量，且不存在环之类神奇的东西

            k = dinic( to[ i ] , min( rest , w[ i ] ) );//继续搜

            if( !k )d[ to [ i ] ] =  ; //剪枝，如果 k(下一层可流入流量图为 0 )，cut

            w[ i ] -= k ;

            w[ i ^  ] += k ;//占用k流量，注意反边要加上k，不然无法退回

            rest -= k ; //当前节点的剩余汇入流量-k;

        }

       return flow - rest ; //递归完成

}

int  main()

{

    n = read() ; m = read() ; s = read() ; t = read() ;

    for( int  i =  ; i <= m ; ++i ){

        int  x = read() , y = read() , L = read() ;

        add( x , y , L ) ;

    }

    int  flow =  ;

    while( bfs() ){//存在增广路

        while( flow = dinic ( s , inf ))maxflow += flow ;

    }

    printf("%d",maxflow) ;

    return   ;

}

Dinic算法一定要手敲一遍板子，不然你连错在哪都查不出来（除了机对）。

4.网络流的应用以及ISAP算法引入

ISAP算法是EK算法的另一类优化， ISAP算法只需一次BFS即可，但代码难度远远高于Dinic算法。

ISAP算法复杂度在非二分图上高于Dinic算法，在二分图则不如Dinic算法。

在此暂时不详讲，日后会更新ISAP算法详解。

网络流的应用

网络流应用较广，但建议新手按以下顺序A题，熟练算法和增强应用能力。

网络流的应用

网络流应用较广，但建议新手按以下顺序A题，熟练算法和增强应用能力。

P3376 【模板】网络最大流

U60438 及川奈砂的蛋糕

P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏

P2891 [USACO07OPEN]吃饭Dining

感谢ssw大佬！！