最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

最后边附有我根据文中Dijkstra算法的描述使用java写的算法实现。

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

3.算法代码实现：

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
      int n=MAXNUM;
  　　for(int i=1; i<=n; ++i)
 　　 {
      　　dist[i] = A[v0][i];
      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
      　　if(dist[i] == MAXINT)
            　　prev[i] = -1;
 　　     else
            　　prev[i] = v0;
   　　}
   　 dist[v0] = 0;
   　 S[v0] = true; 　　
 　　 for(int i=2; i<=n; i++)
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
      　　    {
         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
         　 　      mindist = dist[j];
       　　   }
       　　S[u] = true;
       　　for(int j=1; j<=n; j++)
       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
       　　    {
           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
           　    　{
                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist
                   　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点
            　　    }
        　    　}
   　　}
}

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

3.算法代码实现

typedef struct
{
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;

void Floyd(MGraph g)
{
 　　int A[MAXV][MAXV];
 　　int path[MAXV][MAXV];
 　　int i,j,k,n=g.n;
 　　for(i=0;i<n;i++)
    　　for(j=0;j<n;j++)
    　　{ 　　
             A[i][j]=g.edges[i][j];
         　　 path[i][j]=-1;
     　 }
 　　for(k=0;k<n;k++)
 　　{
      　　for(i=0;i<n;i++)
         　　for(j=0;j<n;j++)
             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
             　　{
                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                   　　path[i][j]=k;
              　 }
    　} 
} 

算法时间复杂度:O(n³)

前面是原文使用C语言的实现，我根据描述使用java实现了Dijkstra算法，已测试正确：

package test2;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.HashSet;
import java.util.List;
import java.util.Set;

public class RouteCaculateTest {

    public static void main(String[] args) {
        Set<Point> set = new HashSet<Point>();
        Point[] points = new Point[6];
        Route[] routs = new Route[9];
        init(points, routs);

        Point start = points[0];    //最短路径起始点

        start.sPoints = new Point[]{start};
        start.sLens = new int[]{0};
        deal(start, routs, set);

        System.out.println(points[3]);    //计算结束后，每一个节点中的points就是该节点到起始点的最短路径
        String deepToString = Arrays.deepToString(points);
        System.out.println(deepToString);
    }
    //回调遍历处理每一个节点
    private static void deal(Point curr, Route[] routs, Set<Point> set) {
        set.add(curr);
        List<Point> list = new ArrayList<Point>();
        for(Route rout : routs){
            if(rout.p1 == curr && !set.contains(rout.p2)){
                rout.p2.caculate(curr, rout.length);
                list.add(rout.p2);
            }else if(rout.p2 == curr && !set.contains(rout.p1)){
                rout.p1.caculate(curr, rout.length);
                list.add(rout.p1);
            }
        }
        for(Point p : list){
            deal(p, routs, set);
        }
    }
    //构建节点和路径
    static void init(Point[] points, Route[] routs){
        for(int i = 0; i < 6; i++){
            points[i] = new Point(i + 1);
        }
        routs[0] = new Route(points[0], points[1], 7);
        routs[1] = new Route(points[0], points[2], 9);
        routs[2] = new Route(points[0], points[5], 14);
        routs[3] = new Route(points[1], points[2], 10);
        routs[4] = new Route(points[1], points[3], 15);
        routs[5] = new Route(points[2], points[5], 2);
        routs[6] = new Route(points[2], points[3], 11);
        routs[7] = new Route(points[3], points[4], 6);
        routs[8] = new Route(points[4], points[5], 9);
    }

}

class Route{

    Point p1;
    Point p2;
    int length;

    public Route(Point p1, Point p2, int length){
        this.p1 = p1;
        this.p2 = p2;
        this.length = length;
    }

}

class Point{

    Point[] sPoints = null;
    int[] sLens = null;

    public Point(int index){
        this.index = index;
    }

    public void caculate(Point lastP, int length) {
        int old = Integer.MAX_VALUE;
        if(sLens != null){
            old = 0;
            for(int len : sLens){
                old += len;
            }
        }
        int nLen = 0;
        for(int len : lastP.sLens){
            nLen += len;
        }
        nLen += length;
        if(nLen < old){
            this.sPoints = new Point[lastP.sPoints.length + 1];
            System.arraycopy(lastP.sPoints, 0, this.sPoints, 0, lastP.sPoints.length);
            this.sPoints[this.sPoints.length - 1] = this;

            this.sLens = new int[lastP.sLens.length + 1];
            System.arraycopy(lastP.sLens, 0, this.sLens, 0, lastP.sLens.length);
            this.sLens[this.sLens.length - 1] = length;
        }
    }

    private int index = -1;

    @Override
    public String toString() {
        String pointIndexs = "[";
        for(Point p : sPoints){
            pointIndexs += p.index + ",";
        }
        pointIndexs = pointIndexs.substring(0, pointIndexs.length() - 1);
        pointIndexs += "]";
        int tt = 0;
        for(int len : sLens){
            tt += len;
        }
        String lenText = Arrays.toString(sLens) + "(total:" + tt + ")";
        return "index:" + index + "; path:" + pointIndexs + "; length:" + lenText;
    }

}