【忍者算法】从图书馆找书到矩阵搜索：探索二维矩阵中的高效搜索｜LeetCode第240题 搜索二维矩阵 II

从图书馆找书到矩阵搜索：探索二维矩阵中的高效搜索

生活中的搜索策略

想象你在一个大型图书馆里找书。这个图书馆的书架是按照两个维度排列的：每个书架从左到右按书名字母顺序排列，从上到下的书架则按照出版年份排序。如果你要找一本特定的书，你会怎么做？显然，从第一个书架第一本书开始一本本查找是最笨的方法。聪明的做法是：先找到可能的书架（年份范围），再在书架上快速定位（利用字母顺序）。

问题描述

LeetCode第240题"搜索二维矩阵 II"是这样描述的：编写一个程序，在一个 m x n 的矩阵中查找一个值 target。这个矩阵有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列
• 每列的元素从上到下升序排列

例如：

输入：matrix = [[1, 4, 7, 11, 15],
                [2, 5, 8, 12, 19],
                [3, 6, 9, 16, 22],
                [10,13,14,17, 24],
                [18,21,23,26, 30]],
target = 5

输出：true

最直观的解法：暴力搜索

就像在图书馆里一本本翻找，最简单的方法是遍历矩阵中的每个元素。虽然这种方法保证能找到答案，但效率很低。

暴力搜索的实现

public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
    if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
        return false;
    }

    int m = matrix.length;
    int n = matrix[0].length;

    // 遍历每个元素
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (matrix[i][j] == target) {
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

优化解法：从右上角开始搜索

仔细观察矩阵的特性，我们可以采用更聪明的方法。就像在图书馆找书时，我们可以站在一个特殊的位置 —— 右上角，这个位置很神奇：

• 向左看，数字会变小
• 向下看，数字会变大

这就给了我们一个明确的搜索方向！

右上角搜索的原理

想象你在玩一个猜数字的游戏：

1. 站在右上角
2. 如果当前数字大于目标值，就向左移动（因为下面的数字更大，没必要看）
3. 如果当前数字小于目标值，就向下移动（因为左边的数字更小，没必要看）
4. 如果相等，就找到了答案

示例运行

以查找target = 9为例：

1  4  7  11 [15] → 比9大，左移
1  4  7 [11] 15  → 比9大，左移
1  4 [7]  11 15  → 比9小，下移
1  4  7   11 15
2  5  8   12 19
3  6 [9]  16 22  → 找到目标值！
10 13 14  17 24
18 21 23  26 30

Java代码实现

public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
    if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
        return false;
    }

    // 从右上角开始搜索
    int row = 0;
    int col = matrix[0].length - 1;

    while (row < matrix.length && col >= 0) {
        if (matrix[row][col] == target) {
            return true;
        } else if (matrix[row][col] > target) {
            // 当前值太大，向左移动
            col--;
        } else {
            // 当前值太小，向下移动
            row++;
        }
    }

    return false;
}

解法比较

让我们比较这两种方法：

暴力搜索：

• 时间复杂度：O(m×n)
• 空间复杂度：O(1)
• 优点：简单直观，容易实现
• 缺点：没有利用矩阵的特性，效率低

右上角搜索：

• 时间复杂度：O(m+n)
• 空间复杂度：O(1)
• 优点：充分利用矩阵特性，高效快速
• 缺点：需要理解矩阵的排序特性

实用技巧总结

解决矩阵搜索问题的关键点：

1. 观察矩阵的特性（如排序规律）
2. 寻找特殊位置（如右上角）作为起点
3. 利用排序特性确定搜索方向
4. 正确处理边界条件

相关的矩阵搜索问题：

• 搜索二维矩阵 I
• 有序矩阵中的第k小元素
• 矩阵中的最小路径和

小结

通过搜索二维矩阵这道题，我们学会了如何在有序矩阵中高效搜索。这种思维方式不仅能解决算法题，在数据库索引设计、图像处理等领域都有应用。记住，当遇到需要在有序数据结构中搜索的问题时，可以考虑利用数据的有序性来优化搜索过程，通常能获得比暴力搜索更好的性能！

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作者：忍者算法

公众号：忍者算法

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