[题解]CF457A Golden System

CF457A Golden System

十分精妙的一道题，斐波那契数列和黄金比例\(\Phi\)的内在有着奇妙的联系。

我们设\(x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)，则根据题目给出的规律，有\(x^2=x+1\)。

下面我们通过列举，试图找出规律：

• \(x^0=1\)
• \(x^1=x\)
• \(x^2=x+1\)
• \(x^3=2x+1\)
• \(x^4=3x+2\)
• \(x^5=5x+3\)
• \(x^6=8x+5\)
  
  \(…\)

没错，\(x\)的系数构成了一个斐波那契数列\(\{1,0,1,1,2,3,5,8,…\}\)，而容易发现\(x^k=x^{k-1}+x^{k-2}\)。所以我们把\(A,B\)序列不断降次，直到只剩若干\(x^0\)和\(x^1\)，然后计算具体值判断即可。

这里把\(A,B\)相减得到\(C\)，最后看结果的正负性，效果是一样的。

需要注意的是，降次过程中可能会出现超long long的情况，怎么解决呢？我们发现\(x^k\)的系数如果超过某个限制，以至于\(1\sim (k-1)\)即使全是负数，结果也减不到负数。所以在执行途中加一个判断如果\(x^k\)的绝对值大于某个数，就直接输出。这里使用\(10^5\)过了，但为了保险还是大点好。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a,b;
long long c[100010];
int main(){
	cin>>a>>b;
	int len=max(a.size(),b.size());
	reverse(a.begin(),a.end());
	reverse(b.begin(),b.end());
	a.resize(len,'0'),b.resize(len,'0');
	a=' '+a,b=' '+b;
	for(int i=1;i<=len;i++) c[i]=a[i]-b[i];
	for(int i=len;i>=3;i--){
		if(llabs(c[i])>100000){
			if(c[i]>0) cout<<'>';
			else cout<<'<';
			return 0;
		}
		c[i-1]+=c[i],c[i-2]+=c[i];
	}
	if(c[1]==c[2]&&c[1]==0){
		cout<<'=';
		return 0;
	}
	double x=(sqrt(5)+1)/2;
	double aa=1.0*c[2]*x+1.0*c[1];
	if(aa>0) cout<<'>';
	else cout<<'<';
	return 0;
}