ARC151C 01 Game

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\(SG\) 函数好题。

思路

考虑把原问题分成多个区间的不同问题，求 \(SG\) 在异或起来。

设：

1.\(SG_1(len)\) 长度为 \(len\)，边界没有数字。

2.\(SG_2(len)\) 长度为 \(len\)，只有一个边界有数字。

3.\(SG_3(len)\) 长度为 \(len\)，两个边界都有相同数字。

4.\(SG_4(len)\) 长度为 \(len\)，两个边界都有不同数字。

初始有 \(SG_1(0)=SG_2(0)=SG_4(0)=0,SG_3(0)=1\)。

因为 \(SG_3(0)\) 不存在，所以看做先手胜。

考虑枚举选择的点 \(i\)，有：

\[SG_1(len)=\operatorname{mex}_{i=1}^{len}(SG_2(i-1) \oplus SG_2(len-i))
\]

\[SG_2(len)=\operatorname{mex}_{i=1}^{len}\operatorname{mex}(SG_2(i-1) \oplus SG_3(len-i),SG_2(i-1) \oplus SG_4(len-i))
\]

\[SG_3(len)=\operatorname{mex}_{i=1}^{len}\operatorname{mex}(SG_3(i-1)\oplus SG_3(len-i),SG_4(i-1) \oplus SG_4(len-i))
\]

\[SG_4(len)=\operatorname{mex}_{i=1}^{len}\operatorname{mex}(SG_3(i-1)\oplus SG_4(len-i),SG_4(i-1) \oplus SG_3(len-i))
\]

然后我们通过打表发现：

\[SG_1(len)=len\mod 2
\]

\[SG_2(len)=len
\]

\[SG_3(len)=1
\]

\[SG_4(len)=0
\]

这个可以也可以通过上述方程归纳证明。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

const int maxn=2e5+5;

ll n;
ll x[maxn];

int m;
int y[maxn];

int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%d",&x[i],&y[i]);
    x[0]=0,x[m+1]=n+1;
    ll sg=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        ll len=x[i+1]-x[i]-1;
        if(i==0&&i==m) sg^=(len&1);
        else if(i==0||i==m) sg^=len;
        else if(y[i]==y[i+1]) sg^=1;
    }
    if(sg) printf("Takahashi");
    else printf("Aoki");
}