拓展Lucas小结

拓展Lucas是解决大组合数取模非质数(尤其是含平方因子的合数)问题的有力工具...

首先对模数质因数分解，把每个质因子单独拎出来处理答案，然后用中国剩余定理(excrt)合并

问题转化为，对于每个质因子p，求$C_{n}^{m}(mod\;p^k)$

把$C_{n}^{m}$展开成$\frac{n!}{m!(n-m)!}$，发现上下的阶乘里，都可能有质因子p，把它们从阶乘里提取出来，额外求出$n!$里p的数量，减掉$m!$和$(n-m)!$里p的数量，再乘回答案里

剩余的部分就是$n!$，$m!$和$(n-m)!$去掉p的部分，因为它们都关于模数$p^k$互质，除以$m!$和$(n-m)!$就可以用exgcd求逆元了

现在剩余的任务就是处理$n!$去掉所有p的剩余部分

比如n=19,p=3,k=2时

剩余$1*2*4*5*7*8*10*11*13*14*16*17*19(mod\;3^2)$

略微变形成$(1*2*4*5*7*8)*(10*11*13*14*16*17)*19(mod\;3^2)$

发现它竟然是一个又一个循环节，循环节长度为$p^k$，而且每一个循环节都是同模的，所以计算出一个循环节的答案，再用快速幂求得所有循环节相乘的答案

对于每个循环节，递归求解即可

每次计算还会剩余长度小于循环节一小段，因为它长度小于$p^k$，暴力计算就行了

最后合并每个质因子的答案即可模数

时间非常玄学，由出题人的毒瘤程度模数决定

代码好长啊

 namespace exlucas{
 ll ans=,M=;
 ll son[],pw[];
 int num;
 int excrt_ins(ll A,ll B)
 {
     ll a=A,b=B,c=(a-ans%b+b)%b,x,y;
     ll g=exgcd(M,b,x,y);ll bg=b/g;
     if(c%g!=) return -;
     //x=x*(c/g)%bg;
     x=qmul(x,c/g,bg);
     ans+=x*M,M*=bg,ans=(ans%M+M)%M;
     return ;
 }
 ll get_mul(ll n,ll p,ll &sum,const ll &mo,int type)
 {
     if(n==) return ;
     ll ans=;
     for(int i=;i<=min(n,mo);i++)
         if(i%p) ans=ans*i%mo;
     ans=qpow(ans,n/mo,mo);
     for(int i=;i<=n%mo;i++)
         if(i%p) ans=ans*i%mo;
     sum+=1ll*(n/p)*type;
     return ans*get_mul(n/p,p,sum,mo,type)%mo;
 }
 ll get_C(ll n,ll m,ll p,const ll &mo)
 {
     if(m>n) return ;
     ll sum=;ll y;
     ll nn=get_mul(n,p,sum,mo,);
     ll mm=get_mul(m,p,sum,mo,-);
     ll nm=get_mul(n-m,p,sum,mo,-);
     exgcd(mm,mo,mm,y);
     mm=(mm%mo+mo)%mo;
     exgcd(nm,mo,nm,y);
     nm=(nm%mo+mo)%mo;
     return nn*mm%mo*nm%mo*qpow(p,sum,mo)%mo;
 }
 ll C(ll n,ll m,const ll &mo)
 {
     if(m>n) return ;
     ll ret=;
     for(int i=;i<num;i++){
         ll val=get_C(n,m,son[i],pw[i]);
         excrt_ins(val,pw[i]);
     }
     ret=ans,M=,ans=;
     return ret;
 }
 };