[DP专题]悬线法

参考：https://blog.csdn.net/twtsa/article/details/8120269

先给出题目来源：(洛谷)

1.p1387 最大正方形

2.P1169 棋盘制作

3.p2701 巨大的牛棚

4.p4147 玉蟾宫

5.P1578 奶牛浴场

......

悬线法，很好理解，就是悬一根线晃来晃去求最大子矩阵嘛！

思路和转移方程也很简单：

if(满足^&%$!@#^%){
    right[i][j]=min(right[i][j],right[i-][j]);
    left[i][j]=max(left[i][j],left[i-][j]);
    up[i][j]=up[i-][j]+;
}

下面解释一下：

right表示从(i,j)这个点出发向右能到达最远的距离

left和up差不多，一个向左，一个向上

关于初始化

for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=;j<=m;j++)
        right[i][j]=left[i][j]=j,up[i][j]=;
for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=;j<=m;j++)
        if(满足条件)
            right[i][j]=right[i][j-];
for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=m-;j>=;j--)
        if(满足条件)
            left[i][j]=left[i][j+];

其实这个东西跟模板一样套就好了

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【NO.1】最大正方形

【解法1】

　　数据这么小，考虑暴力：

　　维护矩阵二维前缀和，暴力枚举左上角和正方形的长，判断该块矩阵和是否为长*长，更新最大值

　　复杂度：O（n^3）

　　(很久以前以前写的代码，可能有点丑)

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cctype>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    int n,m,map[][];
    int sum[][];
    void pre(){
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=;j<=m;j++)
                sum[i][j]=sum[i-][j]+sum[i][j-]-sum[i-][j-]+map[i][j];
    }
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=;j<=m;j++)
                scanf("%d",&map[i][j]);
        pre();
        int ans=-;
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=;j<=m;j++)
                for(int l=;l<=min(n,m);l++){
                    int rx=i+l-,ry=j+l-;
                    if(i-+l>n||j-+l>m||sum[rx][ry]-sum[rx][j-]-sum[i-][ry]+sum[i-][j-]!=l*l) break;
                    if(ans<l) ans=l;
                }
        printf("%d",ans);
        return ;
    }

【缺点】但是如果n=5000之类稍微大一点的数据就GG了，所以接下来我们用悬线法解决这个问题

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    inline int read(){
        char chr=getchar();    int f=,ans=;
        while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
        while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
        return ans*f;
    }
    void write(int x){
        if(x<) putchar('-'),x=-x;
        if(x>) write(x/);
        putchar(x%+'');
    }
    int n,m,a[][];
    int l[][],r[][],up[][],ans1,ans2;
    int main(){
        n=read(),m=read();
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=;j<=m;j++)
                a[i][j]=read(),l[i][j]=r[i][j]=j,up[i][j]=;
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=;j<=m;j++)
                if(a[i][j]==a[i][j-]&&a[i][j]==)    l[i][j]=l[i][j-];
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=m-;j>=;j--)
                if(a[i][j]==a[i][j+]&&a[i][j]==)    r[i][j]=r[i][j+];//预处理
        for(int i=;i<=n;i++)
            for(int j=;j<=m;j++){
                if(i>)
                    if(a[i][j]==a[i-][j]&&a[i][j]==){//满足条件
                        l[i][j]=max(l[i][j],l[i-][j]);
                        r[i][j]=min(r[i][j],r[i-][j]);
                        up[i][j]=up[i-][j]+;
                    }
                int a=r[i][j]-l[i][j]+;
                int b=min(a,up[i][j]);
                ans1=max(b,ans1);//更新答案
            }
        cout<<ans1;
        return ;
    }

　有没有发现，其实就是模板里面把条件加上去就OK了，惊不惊喜！！！哈哈哈（其实好像下面大部分都是这样的）比如下面这题

【NO.2】棋盘制作

一样是套模板，改一下条件

注意到该题条件是10间隔分布，则if语句中内容应为：if(a[i][j]!=a[i-1][j])注意这里还有一个大前提就是i>1!

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
    char chr=getchar();    int f=,ans=;
    while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
    while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
    return ans*f;
}
void write(int x){
    if(x<) putchar('-'),x=-x;
    if(x>) write(x/);
    putchar(x%+'');
}
int n,m,a[][];
int l[][],r[][],up[][],ans1,ans2;
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++)
            a[i][j]=read(),l[i][j]=r[i][j]=j,up[i][j]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++)
            if(a[i][j]!=a[i][j-])    l[i][j]=l[i][j-];
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=m-;j>=;j--)
            if(a[i][j]!=a[i][j+])    r[i][j]=r[i][j+];
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++){
            if(i>)
                if(a[i][j]!=a[i-][j]){
                    l[i][j]=max(l[i][j],l[i-][j]);
                    r[i][j]=min(r[i][j],r[i-][j]);
                    up[i][j]=up[i-][j]+;
                }
            int a=r[i][j]-l[i][j]+;
            int b=min(a,up[i][j]);
            ans1=max(b*b,ans1);
            ans2=max(a*up[i][j],ans2);
        }
    cout<<ans1<<"\n"<<ans2;
    return ;
}

【NO.3】巨大的牛棚

还是模板？只不过读入的时候转换一下就好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
    char chr=getchar();    int f=,ans=;
    while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
    while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
    return ans*f;
}
void write(int x){
    if(x<) putchar('-'),x=-x;
    if(x>) write(x/);
    putchar(x%+'');
}
int n,T;
int a[][],l[][],r[][],u[][],ans;
int main(){
    n=read();T=read();
    for(int i=;i<=T;i++){int x=read(),y=read();a[x][y]=;}
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++)
            l[i][j]=r[i][j]=j,u[i][j]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++)
            if(a[i][j]==&&a[i][j-]==) l[i][j]=l[i][j-];
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=n-;j>=;j--)
            if(a[i][j]==&&a[i][j+]==) r[i][j]=r[i][j+];
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++){
            if(i>&&a[i][j]==&&a[i-][j]==){
                u[i][j]=u[i-][j]+;
                l[i][j]=max(l[i-][j],l[i][j]);
                r[i][j]=min(r[i-][j],r[i][j]);
            }
            int a=r[i][j]-l[i][j]+;
            int b=min(a,u[i][j]);
            ans=max(ans,b);
        }
    cout<<ans;
    return ;
}

【NO.4】玉蟾宫

这些题几乎一样...都不想说什么了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
    char chr=getchar();    int f=,ans=;
    while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
    while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
    return ans*f;
}
void write(int x){
    if(x<) putchar('-'),x=-x;
    if(x>) write(x/);
    putchar(x%+'');
}
int n,m;
char a[][];
int l[][],r[][],up[][],ans1,ans2;
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++){
            cin>>a[i][j];
            l[i][j]=r[i][j]=j,up[i][j]=;
        }
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++)
            if(a[i][j]==a[i][j-]&&a[i][j]=='F')    l[i][j]=l[i][j-];
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=m-;j>=;j--)
            if(a[i][j]==a[i][j+]&&a[i][j]=='F')    r[i][j]=r[i][j+];
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++){
            if(i>)
                if(a[i][j]==a[i-][j]&&a[i-][j]=='F'){
                    l[i][j]=max(l[i][j],l[i-][j]);
                    r[i][j]=min(r[i][j],r[i-][j]);
                    up[i][j]=up[i-][j]+;
                }
            int a=r[i][j]-l[i][j]+;
            int b=min(a,up[i][j]);
            ans2=max(a*up[i][j],ans2);
        }
    cout<<ans2*;
    return ;
}

当然，难的在这里：奶牛浴场 （上面看懂的同学可以挑战一下这题）

这里有题解噢~

占坑，别禁赛噢~