[JLOI2015]装备购买

题目描述

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 nn 件装备，每件装备有 $m$ 个属性，用向量 $\mathbf{z_i}$=$(a_1, \ldots ,a_j, \ldots , a_m)$ 表示 $1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq m$，每个装备需要花费 $c_i$ ，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。

严格的定义是，如果脸哥买了 $\mathbf{z_{i_1}}$, $\ldots$ , $\mathbf{z_{i_p}}$ 这 $p$ 件装备，那么对于任意待决定的 $\mathbf{z_h}$ ，不存在 $b_1$, $\ldots ,b_p$ 使得 $b_1\mathbf{z_{i_1}} + \ldots + b_p\mathbf{z_{i_p}} = \mathbf{z_h}$ （ $b_i$ 均是实数），那么脸哥就会买 $\mathbf{z_h}$ ，否则 $\mathbf{z_h}$ 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

举个例子， $\mathbf{z_1}=(1, 2, 3), \ \mathbf{z_2}=(3, 4, 5), \ \mathbf{z_h}=(2, 3, 4)$, $\ b_1 =\frac{1}{2}, \ b_2 =\frac{1}{2}$，就有 $b_1\mathbf{z_1} + b_2\mathbf{z_2} = \mathbf{z_h}$ ，那么如果脸哥买了 $\mathbf{z_1}$ 和 $\mathbf{z_2}$ 就不会再买 $\mathbf{z_h}$ 了。

脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数 n,m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，其中 $c_i$ 表示购买第 i 件装备的花费。

输出格式：

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 3

1 2 3

3 4 5

2 3 4

1 1 2

输出样例#1： 复制

2 2

说明

如题目中描述，选择装备 1 装备 2，装备 1 装备 3，装备 2 装备 3 均可，但选择装备 1 和装备 2 的花费最小，为 2。

对于 100% 的数据, 1 <= n;m <= 500; 0 <= aj <= 1000。

题解

这是一道线性基的原理题。咕咕咕

线性基的思想是由向量来表示的。

也就是说：

存在$b_1$, $\ldots ,b_p$ 使得 $b_1\mathbf{z_{i_1}} + \ldots + b_p\mathbf{z_{i_p}} = \mathbf{z_h}$ （ $b_i$ 均是实数）

就像物理里面的力的分解一样。

多个不同方向和不同或相同大小的力可以构成另外一个合力。

其实异或只是线性基的另一种oi思想。

我们把向量的每一维看做二进制。只是这里的二进制是一个实数而不只是01序列。那么我们就用高斯消元的思想，不断的把从1到n维度的实数用之前的数去消掉。这样的话，就得到了一个类似而二进制的最高位1的数组的最高位下标就是最高位维度的数组。

是不是就和线性基一样了？

再加一个贪心维护让小价值的拼出大价值的就好了。

代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<iostream>

using namespace std;

const double eps=1e-5;

int p[1001],n,m,ans,sum;

struct node{

    int vi;

    double x[1001];

}a[1001];

bool cmp(node a,node b){

    return a.vi<b.vi;

}

void solve()

{

    for(int i=1;i<=n;i++){

        for(int j=1;j<=m;j++){

        if(fabs(a[i].x[j])>eps){

            if(!p[j]){

                p[j]=i;

                sum++;

                ans+=a[i].vi;

                break;

            }

            else {

                double t=(double)(1.0*a[i].x[j])/(1.0*a[p[j]].x[j]);

                for(int k=j;k<=m;k++){

                    a[i].x[k]-=t*(a[p[j]].x[k]);

                }

            }

        }

        }

    }

    printf("%d %d",sum,ans);

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++)

    for(int j=1;j<=m;j++)

        scanf("%lf",&a[i].x[j]);

    for(int i=1;i<=n;i++)

        scanf("%d",&a[i].vi);

    sort(a+1,a+n+1,cmp);

    solve();

    return 0;

}