Wannafly模拟赛2 B river（拉格朗日乘数法）

题目

　　https://www.nowcoder.com/acm/contest/4/B
题意

　　有n条南北流向的河并列排着，水流速度是v，现在你需要从西岸游到东岸，总共T个时间，你的游泳速度是u，问东岸的上岸点和西岸的下水点之间距离最大是多少？

分析

　　其实就是求南北方向位移的最大值

　　如果给定在一条河里的游泳时间，那么当然可以算出在这条河里的位移最大值

　　具体的对于第i条河来说，将游泳速度u分成水平方向的$x$和竖直方向的$\sqrt{u^2-x^2}$

　　那么容易整理出最大位移$f_i(t)=vt+\sqrt{u^2t^2-w_i^2}$

　　这个问题最难的就是时间分配，即如何将T分配成$t_1,t_2,..,t_n$满足$t_1+t_2+...+t_n=T$，并且使得$S(t_1,t_2,..,t_n)=f_1(t_1)+f_2(t_2)+..+f_n(t_n)$最大

　　这是一个多元函数求极值的问题，考虑拉格朗日乘数法

　　构造拉格朗日函数$L(t_1,t_2,..,t_n,\lambda)=f_1(t_1)+f_2(t_2)+..+f_n(t_n)+\phi(t_1,t_2,..,t_n)$，其中$\phi(t_1,t_2,..,t_n)=t_1+t_2+...+t_n-T$

　　只需要求这个L的各个偏导，令其为0就行了

　　于是我们得到了重要的结论——${f_1}'(t_1)={f_2}'(t_2)=...={f_n}'(t_n)$

　　我们可以去二分这个导数值mid，然后去反解$t_i$

　　根据$\sum {t_i}$和$T$的大小来改变mid的值

　　注意到能二分导数值反解$t_i$的情况当且仅当$f_i$是单调的，但${f_1}'(t_1)={f_2}'(t_2)=...={f_n}'(t_n)$这个性质却和函数表达式无关