（数论）51NOD 1073 约瑟夫环

N个人坐成一个圆环（编号为1 - N），从第1个人开始报数，数到K的人出列，后面的人重新从1开始报数。问最后剩下的人的编号。
例如：N = 3，K = 2。2号先出列，然后是1号，最后剩下的是3号。
Input
2个数N和K，表示N个人，数到K出列。(2 <= N, K <= 10^6)
Output
最后剩下的人的编号
Input示例
3 2
Output示例
3
解：

 #include <stdio.h>
 int main()
 {
     int n, k;
     while (scanf_s("%d%d", &n, &k) != EOF)
     {
         int move = ;
         for (int i = ; i <= n; i++) move = (move + k) % i;
         printf("%d\n", move + );
     }
 }    

首先，我是从正向思考，即找出每次去掉的元素，并标记，循环n-1次，最后找到未标记的元素即可。这个思路简单，但实现却麻烦。
然后，是用链表的删改来完成游戏成员的淘汰，删除n-1个节点，最后剩余的就是winner。但这仍不够简单。
最后，注意到约瑟夫环的环状结构的特性，使我们可以利用当k为相同值时，n-1个人玩游戏和n个人玩游戏存在的数学关系解决问题。
这种数学关系简单叙述如下：
n个人玩游戏，k为常数，定义f(n)为n人游戏时的胜利者编号。第一轮淘汰者为(k-1)%n+1(为什么不是k%n？注意取模运算的范围为[0,n-1],考虑k=n的情况)，之后我们可以将(k-1)%n+2作为新的排头head,(k-1)%n为尾tail，以另一种方式展开这个环。
由于head=1，tail=n-1时，winner=f(n-1),
则head’=(k-1)%n+2，tail’=(k-1)%n时，winner’=winner+(k-1)%n+1。(考虑到加法中可能存在的“溢出”问题，将公式标准化如下）

winner=f(n-1)+(k-1)%n+1-1)%n+1=(f(n-1)+(k-1)%n)%n+1=(f(n-1)+k-1)%n+1。

所以我们得到递推公式如下：
定义f(n)为n人游戏时的胜利者编号,k由题目定义，
则　f(1)=1;
　　f(n)=(f(n-1)+k-1)%n+1;
由于取模运算的范围包括零，所以我们在运算前要-1，运算后要+1。那我们可不可以将这个步骤省略呢？
我们需要改变f(n)的定义，即将f(n)定义为f(n)-1(其实这时候的f(n)可以理解为偏移量，它的值代表的是n人游戏时获胜者的相对于零位置的位置)，
所以递推公式化简为：f(1)=0;
　　　　　　　　　　f(n)=(f(n-1)+k)%n;(最终答案不要忘记+1！)