洛谷 P3768 简单的数学题

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768

化简一下式子，就是$\sum_{d=1}^ncalc(d)d^2\varphi(d)$

其中$calc(d)=\frac{({\lfloor}\frac{n}{d}{\rfloor}+1)^2{{\lfloor}\frac{n}{d}{\rfloor}}^2}{4}$

可以对calc(d)做整除分块，那么要求$d^2\varphi(d)$的前缀和

看一眼数据范围，大概要杜教筛

凑了一会，发现令$f(d)=d^2\varphi(d)$，$g(d)=d^2$，$h=f*g$，那么$h(n)=n^2\sum_{d|n}\varphi(d)=n^3$

（也就是说$id^3=id^2\varphi*id^2$，好神奇啊）

那么就好办了，$n^3$的前缀和是有公式的（$1^3+2^3+..+n^3=(1+2+..+n)^2$）

杜教筛那个式子套一下就行了。。也可以预处理一点前缀和

复杂度？...不会算

以下是瞎扯：

设预处理1-K

算一次x，复杂度是$f(x)=\sum_{i=1}^{x/K}\sqrt{\frac{x}{i}}=O(\frac{x}{\sqrt{K}})$

后半部分复杂度是$\sum_{i=1}^{n/K}f(\frac{n}{i})=nK^{-\frac{1}{2}}\sum_{i=1}^{n/K}\frac{1}{i}=nK^{-\frac{1}{2}}log(n/K)$

总复杂度是$nK^{-\frac{1}{2}}log(n/K)+K$

当$K=n^{\frac{2}{3}}$时，复杂度是$n^{\frac{2}{3}}log$

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<map>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 ll md;
 ll H(ll n)
 {
     __int128 t=__int128(n+)*n/%md;
     return t*t%md;
 }
 ll G(ll n)
 {
     return __int128(n)*(n+)*(*n+)/%md;
 }
 ll Mod(ll n,ll d=md)
 {
     if(n>=)    return n%d;
     else if(n%d==)    return ;
     else    return d+n%d;
 }
 const ll K=;
 ll HH[K+],prime[K+],len;
 bool nprime[K+];
 map<ll,ll> ma;
 ll calc(ll n)
 {
     if(n<=K)    return HH[n];
     if(ma.count(n))    return ma[n];
     ll i,j,ans=H(n);
     for(i=;i<=n;i=j+)
     {
         j=n/(n/i);
         ans=Mod(ans-Mod(G(j)-G(i-))*calc(n/i)%md);
     }
     return ma[n]=ans;
 }
 ll n;
 ll X(ll d)
 {
     __int128 t=__int128(n/d+)*(n/d)/%md;
     return t*t%md;
 }
 ll ans;
 int main()
 {
     ll i,j;
     //md=1000000007;
     scanf("%lld%lld",&md,&n);
     HH[]=;
     for(i=;i<=K;i++)
     {
         if(!nprime[i])        {prime[++len]=i;HH[i]=i-;}
         for(j=;j<=len&&i*prime[j]<=K;j++)
         {
             nprime[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==)
             {
                 HH[i*prime[j]]=HH[i]*prime[j];
                 break;
             }
             else
                 HH[i*prime[j]]=HH[i]*(prime[j]-);
         }
     }
     for(i=;i<=K;i++)    HH[i]=HH[i]*i%md*i%md;
     for(i=;i<=K;i++)    HH[i]=(HH[i-]+HH[i])%md;
 //    while(1)
 //    {
 //        scanf("%lld",&n);
 //        printf("%lld\n",calc(n));
 //    }
     for(i=;i<=n;i=j+)
     {
         j=n/(n/i);
         ans=(ans+X(i)*Mod(calc(j)-calc(i-))%md)%md;
     }
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }