MT【271】一道三角最值问题

若不等式$k\sin^2B+\sin A\sin C>19\sin B\sin C$对任意$\Delta ABC$都成立,则$k$的最小值为_____

分析:由正弦定理得$k>\dfrac{19bc-ac}{b^2}$,令$a=x+y,b=y+z,c=z+x,x,y,z>0$,则
$\dfrac{19bc-ac}{b^2}=\dfrac{(z+x)(19(y+z)-(x+y))}{(y+z)^2}<\dfrac{(z+x)(20y+19z-x))}{(y+z)^2}\le\dfrac{(\frac{20y+20z}{2})^2}{(y+z)^2}=100$
故$k\ge 100$

注：也可利用$a+b>c$然后齐次消元得到.