hihocoder1364 奖券兑换

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思路

乍一看这是一个01背包的裸题。但是数据范围\(10^5\)是无法承受的。

但是发现\(p_i\)和\(w_i\)只有10，也就是说最多只有100种物品。所以可以对他们进行分组。然后用二进制优化多重背包来做。

二进制优化多重背包

多重背包是指限定物品数量的一种背包问题。

多重背包可以转化为01背包来解。也就是枚举当前这种物品选多少个。但是这种做法的复杂度是\(O(NVS)\)S是背包内物品数量。

然后考虑优化上面的方法。因为每个数字都是可以用二进制来拼凑出来的。所以可以把每个物品的数量拆分成\(2^x\)这样就能拆分除\(log\)个物品。每个物品的价值都是\(2^x \times w[i]\)的形式。体积都是\(2^x \times p[i]\)的形式。

比如一种物品价值为3，体积为2，数量为13。那么这个物品可以拆分成以下物品：

\[w:3 \times 1　p:2 \times 1 \\
w:3 \times 2　p:2 \times 2 \\
w:3 \times 4　p:2 \times 4 \\
w:3 \times 6　p:2 \times 6 \]

注意最后一个6并不是\(2^x\)。

代码

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2019-01-20 09:01:19
* @Last Modified time: 2019-01-20 09:07:51
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100000 + 100;
ll read() {
   ll x=0,f=1;char c=getchar();
   while(c<'0'||c>'9') {
      if(c=='-') f=-1;
      c=getchar();
   }
   while(c>='0'&&c<='9') {
      x=x*10+c-'0';
      c=getchar();
   }
   return x*f;
}
int f[N],w[110],p[110],num[110],a[15][15];
int W,n,tot;
int main() {
   n = read(),W = read();
   int mx = 0,my = 0;
   for(int i = 1;i <= n;++i) {
      int x = read(),y = read();
      a[x][y]++;
      mx = max(mx,x);my = max(my,y);
   }
   for(int i = 1;i <= mx;++i) {
      for(int j = 1;j <= my;++j) {
         if(a[i][j]) {
            ++tot;
            w[tot] = j;p[tot] = i;num[tot] = a[i][j];
         }
      }
   }
   for(int i = 1;i <= tot;++i) {
      int k;
      for(k = 1;num[i] - k >= k - 1;k <<= 1) {
         for(int j = W;j >= p[i] * k;--j) {
            f[j] = max(f[j],f[j - p[i] * k] + w[i] * k);
         }
      }
      k = num[i] - k + 1;
      for(int j = W;j >= p[i] * k;--j) {
         f[j] = max(f[j],f[j - p[i] * k] + w[i] * k);
      }
   }
   cout<<f[W];
   return 0;
}