hdu 2973"YAPTCHA"(威尔逊定理)

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题意：

　　给出自然数 n，计算出 S_n 的值，其中 [ x ]表示不大于 x 的最大整数。

题解：

　　根据威尔逊定理，如果 p 为素数，那么 (p-1)! ≡ -1(mod p)，即 (p-1)! + 1 = p*q.

　　令 f(K) = 

　　①如果 3K+7 为素数，则 (3K+7-1)! ≡ -1(mod 3K+7)，即 (3K+6)! = (3K+7)*q -1.

　　那么表达式 可化简为 [ (3K+7)*q / (3K+7) - 1 / (3K+7) ] = [ q - 1 / (3K+7)].

　　易得 q-1 < q - 1 / (3K+7) < q ，所以=q-1，那么 f(K) = q-(q-1) = 1.

　　②如果 3K+7 为合数，则 (3K+6)! 能被 (3K+7) 整除，f(K) = 0;

　　由此，本题转化为求解K在[1,n]范围内 (3K+7) 的素数个数。

　　对②的证明：

令p=a*b，(<a<=b)
①若a!=b，则(p-)!=**..*a*..*b*..*(p-)，显然 (a*b) | (p-)!;
②若a==b且为素数，则当a>2时，a*b=a*a>*a,
若p>，则(p-)! = **..*a*..*(2a)*..(p-)，同样有(a*b)|(p-)!;
综上，如果p为合数，则 p | (p-)!;

AC代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const int maxn=1e6+;

 int n;
 int ans[maxn];//ans[i]:[1,i]中，满足 3K+7 为素数的整数个数

 bool isPrime(int num)
 {
     int x=sqrt(num);
     for(int i=;i <= x;++i)
         if(num%i == )
             return ;
     return ;
 }
 void primeTable()
 {
     ans[]=;
     for(int i=;i < maxn;++i)//离散计算出所有的结果
         ans[i]=ans[i-]+isPrime(*i+);
 }
 int main()
 {
     int test;
     scanf("%d",&test);
     primeTable();
     while(test--)
     {
         scanf("%d",&n);
         printf("%d\n",ans[n]);
     }
     return ;
 }