CF785D Anton and School - 2

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problem

给出一个括号序列，要求删除一些括号使得剩下的括号序列是个匹配的括号序列，且改括号序列左边全部为左括号，右边全部为右括号。

solution

考虑枚举左右括号交界的位置\(x\)，为了避免重复计算，强制要求\(x\)左边的第一个左括号必选。然后枚举\(x\)的时候只枚举左括号的位置。

然后枚举括号序列的长度。假设长度为\(2i\)，那么左右括号就分别有\(i\)个，假设左边有\(n\)个左括号，右边有\(m\)个右括号。那么该位置的答案就是\(\sum\limits_{i=1}^{min(n,m)}C_{n-1}^{i-1}C_{m}^i\)

观察上面这个式子，当\(i=0\)时没有贡献，所以我们可以等价的写成\(\sum\limits_{i=0}^{min(n,m)}C_{n-1}^{i-1}C_m^i\)

假设\(n\le m\)

上面的式子也可以写成

\(\sum\limits_{i=0}^nC_{n-1}^{n-i}C_m^i\)

考虑这个东西的组合意义，也就相当于有\(n+m-1\)个物品从中选\(n\)个。

所以上面的东西其实就是\(C_{n+m-1}^n\)然后就可以\(O(1)\)求了。

可以发现，当\(m\le n\)时，推出的式子也是这个。

这样总复杂度就成了\(O(n)\)

code

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
ll read() {
	ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-') f = -1;c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		x = x * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return x * f;
}
int n;
const int N = 200100;
char s[N];
int cnta,cntb,jc[N],inv[N];
int C(int x,int y) {
	return 1ll * jc[x] * inv[y] % mod * inv[x - y] % mod;
}
int qm(int x,int y) {
	int ret = 1;
	for(;y;y >>= 1,x = 1ll * x * x % mod) {
		if(y & 1) ret = 1ll * ret * x % mod;
	}
	return ret;
}

int main() {
	scanf("%s",s + 1);
	n = strlen(s + 1);
	jc[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;++i) jc[i] = 1ll * jc[i - 1] * i % mod;
	for(int i = 0;i <= n;++i) inv[i] = qm(jc[i],mod - 2);
	for(int i = 1;i <= n;++i) if(s[i] == ')') cntb++;
	ll ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		if(s[i] == '(') {
			cnta++;
			ans += C(cnta + cntb - 1,cnta);
			ans %= mod;
		}
		else cntb--;
	}
	cout<<ans;

	return 0;
}