洛谷 P5596 【XR-4】题

洛谷 P5596 【XR-4】题

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题目描述

小 X 遇到了一道题：

给定自然数 a,ba,b，求满足下列条件的自然数对 (x,y)(x,y) 的个数：

y^2 - x^2 = ax + by2−x2=a**x+b

他不会，只好求助于精通数学的你。

如果有无限多个自然数对满足条件，那么你只需要输出 inf 即可。

输入格式

一行两个整数 a,ba,b。

输出格式

如果个数有限，一行一个整数，表示个数。

如果个数无限，一行一个字符串 inf。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

输入 #2复制

输出 #2复制

输入 #3复制

输出 #3复制

输入 #4复制

输出 #4复制

输入 #5复制

输出 #5复制

说明/提示

【样例 1 说明】

(x,y) = (6,9)(x,y)=(6,9)

---

本题采用捆绑测试。

• Subtask 1（3 points）：a = b = 0a=b=0。
• Subtask 2（6 points）：0 \le a,b \le 20≤a,b≤2，不存在无限个数的情况。
• Subtask 3（9 points）：0 \le a,b \le 1000≤a,b≤100，不存在无限个数的情况。
• Subtask 4（13 points）：0 \le a,b \le 10^30≤a,b≤103，不存在无限个数的情况。
• Subtask 5（14 points）：0 \le a \le 10^40≤a≤104，0 \le b \le 10^70≤b≤107。
• Subtask 6（14 points）：a = 0a=0。
• Subtask 7（14 points）：b = 0b=0。
• Subtask 8（27 points）：无特殊限制。

对于 100%100% 的数据，0 \le a \le 10^80≤a≤108，0\le b \le 10^{15}0≤b≤1015。

题解：

这篇题解即将刷新本蒟蒻写的最认真的数学题解的记录。

蒟蒻太菜了考试的时候只拿了18分

蒟蒻一开始的时候是这么想的：

观察原方程：

\[y^2-x^2=ax+b
\]

把它转化成函数形式：

\[y=\sqrt{x^2+ax+b}
\]

因为\(x,y\in N\)，所以我一下子就想到了完全平方数这个东西。

如果能把右侧的部分换成这样的形式：

\[\sqrt{(x+k)^2}，k\in N
\]

那就显然会有无数组解。

然后我们展开，变成：

\[\sqrt{x^2+2kx+k^2},k\in N
\]

和上面的对应上，就能列出一个等式关系：

当\(2k=a,k^2=b\)的时候，有无数组解。

一联立：

\[\frac{a}{2}=\sqrt{b}
\]

这个时候有无数组解，输出\(inf\)即可。

然后蒟蒻就没有思路了。

冥思苦想了很长时间，最后还是用了暴力枚举，剪枝还剪错了，只好用了最最暴力的两重循环枚举来解决了这个问题。只得了18分。

今天看到了正解，惊喜地发现，我和大佬们的思路竟然重合了那么\(1\%\)，至少我推出来了无解的情况应该是什么样子的，而这种情况正是通往“有解”的情况的大门。

我们这样考虑：

因为原式子是个二元二次方程。这个方程很难搞。

如果我们把它换为一元方程的话，肯定就会容易一些。

但是我们还要求可行解的个数...怎么办呢？

灵光一闪（希望大家记住这个思想）

我们可以构造\(x,y\)的映射关系，这样求出一个合法的\(x\)，肯定就会有一个合法的\(y\)与之对应，我们就可以少搞很多东西。

那么，我们以此入手，分析原式子可得两边均大于等于0.

我们怎么对这个式子进行处理呢？有一个方法被蒟蒻起了个名字：归一法，这个方法通俗一点讲，就是把一个主元用一些辅元表示，然后通过一些辅元的关系和范围等求出主元的解。

那么我们就可以设\(t=y-x,t\in N\).

这样，原式子就被我们搞成了这样：

\[(x+t)^2-x^2=ax+b
\]

整理：

\[x^2+2tx+t^2-x^2=ax+b
\]

再整理：

\[x=\frac{b-t^2}{2t-a}
\]

那么，在有解的范围内（也就是\(a/2\not= \sqrt{b}\)）：

分类讨论：

一、\(\frac{a}{2}<\sqrt{b}\)时，有：

\[t\in (\frac{a}{2},\sqrt{b}]
\]

二、\(\sqrt{b}<\frac{a}{2}\)时，有：

\[t\in [\sqrt{b},\frac{a}{2})
\]

注意特判分母不得零的情况！！（化身数学班主任）

因为这个\(t\)定义的时候就是关于\(x,y\)的式子，所以当我们找到一个合法的\(t\)，我们就找到了一组解\((x,y)\)。

基于此，我们只需要在\(t\)的范围内循环找可行解即可。

最后强调，代码实现的坑点是取整和特判...

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int a,b,l,r,ans,n;
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    r=sqrt(b);
	l=a/2;
    if(r*r==b && r*2==a)
	{
		printf("inf");
		return 0;
	}
    else if(a==1 && b==0)
	{
		printf("1");
		return 0;
	}
    else if(r>=l)
	{
        for(int i=l+1;i<=r;i++)
            if((abs(b-i*i))%(abs(2*i-a))==0)
				ans++;
        printf("%lld",ans);
		return 0;
    }
    else
	{
		if(l*2==a)
			n=l-1;
		else
			n=l;
        for(int i=r;i<=n;i++)
            if((abs(b-i*i))%(abs(2*i-a))==0)
				ans++;
        printf("%lld",ans);
		return 0;
    }
}