算法复杂度O(logn)详解

一.O(logn)代码小证明

我们先来看下面一段代码:

int cnt = 1;

while (cnt < n)
{
    cnt *= 2;
    //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}

由于cnt每次在乘以2之后都会更加逼近n，也就是说，在有x次后，cnt将会大于n从而跳出循环，所以\(2 ^ x = n\), 也就是\(x = log_2n\)，所以这个循环的复杂度为O(logn)

二.典型时间复杂度

$c$ 常数
$logN$ 对数级
$log ^ 2N$ 对数平方根
$N$ 线性级
$NlogN$
$N ^ 2$ 平方级
$N ^ 3$ 立方级
$2 ^ N$ 指数级

由此我们可以得知，\(logN\)的算法效率是最高的

三.常见的\(logN\)算法

1.对分查找

- (int)BinarySearch:(NSArray *)originArray element:(int)element
{
    int low, mid, high;
    low = 0; high = (int)originArray.count - 1;
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        if ([originArray[mid] intValue] < element) {
            low = mid + 1;
        } else if ([originArray[mid] intValue] > element) {
            high = mid -1;
        } else {
            return mid;
        }
    }

    return -1;
}

2. 欧几里得算法

- (unsigned int)Gcd:(unsigned int)m n:(unsigned int)n
{
    unsigned int Rem;
    while (n > 0) {
        Rem = m % n;
        m = n;
        n = Rem;
    }
    return m;
}

3.幂运算

- (long)Pow:(long)x n:(unsigned int)n
{
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n == 1) {
        return x;
    }

    if ([self isEven:n]) {
        return [self Pow:x * x n:n / 2];
    } else {
        return [self Pow:x * x n:n / 2] * x;
    }
}

- (BOOL)isEven:(unsigned int)n
{
    if (n % 2 == 0) {
        return YES;
    } else {
        return NO;
    }
}

四.$$库里的log函数

在$$库里有log()函数和log2()函数

log()函数的底数默认为自然对数的底数e

log2()函数的底数很显然就是2咯qwq

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;
//#define DEBUG(x) cerr << #x << "=" << x << endl

int main()
{
    cout << log(M_E) << endl;
    cout << log2(2) << endl;
    return 0;
}

然后我们就会得到

1
1

的结果

\[库里有两个常量M_E和M_PI
M_E代表的是自然对数的底数e
M_PI代表的是圆周率π

## 最后，也是最基本的最重要的
当题目的数据范围达到了$10^{18}$的时候，很显然就要用O(logn)的算法或数据结构了\]