visit：组合数学，ex_Lucas

没做过ex_Lucas的同学可以先看看这个：组合数学专题《礼物》题解。顺便把那道题水了。

强烈推荐tdcp的解，只用求2个组合数，考场打表，没有为什么：

有一个公式蛮重要的，竟然还有人不知道？

有一共n种共k个物品，每一种有a₁,a₂,a₃...a_n个，它们本质不同的排列数是

$ \frac{k!}{a_1 ! \times a_2 ! \times a_3 ! \times ... \times a_n !}  (\sum\limits_{i=1}^n a_i =k) $

要解释嘛？解释一下吧。

首先对所有物品进行全排列，k！

而对于每一种物品，把它从这k个里提出来，其内部的顺序被重复计算了

所以要除掉它内部的全排列，即a_i！。

那么接下来我们来看着道题。

首先，我们可以发现，nm的正负对解题没有影响，统一把它当作正的就好（向右，上为正方向）

那么如果我们一共向左走了a步，那么必须向右走n+a步，同理向下b步就要向上m+b步.(a,b,n-a,m-b均为自然数)

t=(a)+(n+a)+(b)+(m+b)=n+m+2a+2b

t-n-m=2a+2b=2(a+b)

所以说，如果t-n-m为奇数或负数，方案数为0。

在这个式子里面我们未知的只有a和b。枚举其一就能得到另一个。

假如我们现在已经确定了一对a，b，如何求解方案数？

我们有a左(n+a)右b下(m+b)上，我们现在要求这些操作的排列数。

根据我开头说的那个式子，就挺好写出算式了：（开头那个式子记住吧，挺重要的）

$ \frac{t !}{a !\times b! \times (n+a)! \times (m+b)!} $

接下来的问题是如何计算。。。

对于60%的数据，p是一个质数，简单啊，直接Lucas或阶乘逆元硬干就好了啊

（如果你连朴素Lucas都不知道，那我救不了你了）

但是对于全部数据，p可以是一个合数。。。就是礼物那道题了。

分解p得到若干质数，对于这些质数取模分别求解。

在求解对于某一个分解后的质数取模时，套一个朴素Lucas即可。

最后一个CRT合并答案。

---接下来你可以选择不看---

然而我打的十分麻烦。。。我并没有发现需要ex_Lucas和普通Lucas。我以为直接CRT就可以。

然而40分。懵了一阵。

仔细一看发现，因为它有小质数所以会爆炸。

如果要计算$1 \times 3 \div 3 (mod 3)$，那么我会先算1×3=3,取模变成0，在除以3还是0。

呃。。。什么玩意啊！

后来一想，它不就像ex_Lucas一样吗？只要分离记录那个质数的次数不就好了吗？

然后我就暴力计算指数的次数，暴力算阶乘。

那么在上式枚举的过程中，a每增大1，组合数怎么计算？

我很“机智”的想到了，这不和划艇那题的组合数递推挺像吗？（错误的“做题长记性”）

既然a是枚举的，每当a增大1，那个式子只需要除a再除n+a再乘b+1再乘m+b+1不就好了吗？

乘除不能直接乘除，要把分解后的质数提出来。完事！

完美。

完美？

对，对，对是对了，运行倒数第二，码长也十分惊人。

但是因为没有预处理阶乘和逆元，少开了不少数组，内存492k倒是最小的。

思维量挺大，理论上是好事，可是在考场上。。。

不建议按我这个思路打，但是你们可以顺着我的思路想一想，万一用上了呢？

好了，就这样吧，有什么不懂的去评论区喷我就行，看到就回复。

这题讲的有点草率，因为要去写T3的题解。

哦对了，还有，因为我的思路清奇，所以代码还是去颓别人的吧。

 #include<cstdio>
 #define int long long
 #define orz mod[modi]
 int Mod,mod[],mods,t,n,m,ans[],Ans,x,y;
 int pow(int b,int mod,int ans=){
     for(int t=mod-;t;t>>=,b=b*b%mod) if(t&) ans=ans*b%mod;
     return ans;
 }
 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
     if(!b){x=;y=;return;}
     exgcd(b,a%b,x,y);
     int res=x;x=y;y=res-a/b*x;
 }
 signed main(){
     scanf("%lld%lld%lld%lld",&t,&Mod,&n,&m);
     if(n<)n=-n; if(m<)m=-m;
     if(t<n+m){puts("");return ;}
     if(t-n-m&){puts("");return ;}
     for(int mm=Mod,i=;i<=;++i)
         if(mm%i==)mod[++mods]=i,mm/=i;
         else if(i==&&mm!=)mod[++mods]=mm;
     for(int modi=;modi<=mods;++modi){
         int na=n,a=,mb=m+(t-n-m)/,b=(t-n-m)/,C=,tms=;
         for(int i=;i<=t;++i){
             int res=i;
             while(res%orz==)tms++,res/=orz;
             C=C*res%orz;
         }//printf("-%lld %lld\n",C,tms);
         for(int i=;i<=na;++i){
             int res=i;
             while(res%orz==)tms--,res/=orz;
             C=C*pow(res,orz)%orz;
         }//printf("--%lld %lld\n",C,tms);
         for(int i=;i<=mb;++i){
             int res=i;
             while(res%orz==)tms--,res/=orz;
             C=C*pow(res,orz)%orz;
         }//printf("---%lld %lld\n",C,tms);
         for(int i=;i<=b;++i){
             int res=i;
             while(res%orz==)tms--,res/=orz;
             C=C*pow(res,orz)%orz;
         }//printf("----%lld %lld\n",C,tms);
         ans[modi]=(ans[modi]+(tms?:C))%orz;
         while(b){
             b--;mb--;a++;na++;int res;
             res=b+;while(res%orz==)tms++,res/=orz;C=C*res%orz;
             res=mb+;while(res%orz==)tms++,res/=orz;C=C*res%orz;
             res=a;while(res%orz==)tms--,res/=orz;C=C*pow(res,orz)%orz;
             res=na;while(res%orz==)tms--,res/=orz;C=C*pow(res,orz)%orz;
             (ans[modi]+=(tms?:C))%=orz;//printf("-----%lld %lld\n",C,tms);
         }
         exgcd(Mod/orz,orz,x,y); x*=ans[modi]; x=(x%orz+orz)%orz;
         (Ans+=Mod/orz*x%Mod)%=Mod;
     }
     //for(int i=1;i<=mods;++i)printf("%lld %lld\n",mod[i],ans[i]);
     printf("%lld\n",Ans);
 }

形式化地放着