数据结构与算法——优先队列类的C++实现(二叉堆)

优先队列简单介绍：

操作系统表明上看着是支持多个应用程序同一时候执行。其实是每一个时刻仅仅能有一个进程执行，操作系统会调度不同的进程去执行。

每一个进程都仅仅能执行一个固定的时间，当超过了该时间。操作系统就会暂停当前执行的进程，去调度其他进程来执行。

实现这样的进程调度的一种方法是使用队列。

開始的时候进程被放在队列的末尾，调度程序将重复提取队列中的第一个进程来执行。直到执行完成或时间片用完，若进程没有执行完成则将该进程放入队列的末尾。这样的策略不是特别合适，由于可能一些短的进程须要等待非常长的时间才干轮流到。一般来说，执行时间短的进程须要尽快的结束。所以那些执行时间短的进程须要比較高的优先权，相同，那些比較重要的进程也须要比較高的优先权。

这样的特殊的应用须要一种特殊的队列-----优先队列。能够用二叉堆实现优先队列。

二叉堆简单介绍：

二叉堆与二叉查找树类似，二叉树有两个性质：结构性质和堆序性质。

结构性质：

二叉堆是一棵全然二叉树，除了子节点外的其他节点都有两个儿子节点。

一棵高为h的全然二叉树有2^h到2^(h+1) - 1个节点。

全然二叉树的高为log(N)，N为节点数目。

因为全然二叉树的特点，实现起来非常easy，用简单的数组就能够实现。

对于数组中的任何位置i上的元素，其左儿子在位置2*i上，右儿子在(2*i)+1上，其父节点在i/2上（让根节点在位置1）。

以下是一棵全然二叉树的数组实现图示：

堆序性质：

由于假设想高速找到最小单元。则最小单元应该在根上。在堆中，对于每个节点x,x的值大于等于子节点（叶子节点除外）；没有二叉查找树的要求严格。

二叉堆的数据结构实现：

用一个数组 vector<Comparable> v;来存储全部的元素。

用currentSize来记录当前元素的数目。

vector<Comparable> array;//存储二叉堆的节点
int currentSize;//当前二叉堆中的节点数目

二叉堆的主要成员函数：

bool isEmpty() const;//推断二叉堆是否为空
const Comparable & findMin() const;//查找最小元素

void insert(const Comparable & x);//插入元素x
void deleteMin();//删除最小元素
void deleteMin(Comparable & minItem);//删除最小元素，并以引用的方式返回该最小元素
void makeEmpty();//清空该二叉堆
void print() const;//打印该堆元素

void buildHeap();//将元素移动到合适的位置
void percolateDown(int hole);//下移动

二叉堆的主要成员函数介绍：

1、插入insert()：

比方：当插入14的时候。第一步在堆的下一个可用的位置建立空穴。假设在该空穴插入14后满足堆序性，则插入成功。

但当在该空穴插入14之后不满足堆序性，则将该空穴的父节点移入空穴，之前的父节点的位置变为了空穴。

然后再尝试插入该新的空穴，假设不满足堆序。则反复之前的操作。

/****************************************************************
*   函数名称：insert(const Comparable & x)
*   功能描写叙述: 删除最小元素
*   參数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::insert(const Comparable & x)
{
    if(currentSize == array.size()-1)
        array.resize(2 * array.size());//扩大堆中数组的容量

    //获得空穴的位置
    int hole = ++currentSize;

    //上滤
    for(; hole > 1 && x < array[hole/2]; hole /= 2)
        array[hole] = array[hole/2];
    //将x插入到合适的位置
    array[hole] = x;
}

2、删除最小元素deleteMin()：

将堆中最小的一个元素删除之后（最下的元素位于堆数组的最前面）。必须将堆中最后一个元素x移动到堆中的某个合适的位置。

.

比方:在下图中删除最小元素的操作。

删除最小元素13。将最后一个元素31移动到13的位置；31比13的两个孩子的值都大，全部将两个孩子值比較小的上移动。所以将14上移动。然后31再和14的两个孩子的值比較。直到31比空穴的两个孩子的值都小，或者是空穴到了叶子节点。则直接将31插入到空穴。

/****************************************************************
*   函数名称：deleteMin()
*   功能描写叙述: 删除最小元素
*   參数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::deleteMin()
{
    if(isEmpty()){
        cout << "BinaryHeap is empty." << endl;
        return;
    }

    array[1] = array[currentSize];//将最后一个元素移动到最小元素的位置
    currentSize--;//元素总数减去1
    //将最后一个元素移动到合适的位置
    percolateDown(1);
}

/****************************************************************
*   函数名称：percolateDown(int hole)
*   功能描写叙述: 将array(hole)处的值向下移动
*   參数列表: hole为堆中元素的位置标号
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::percolateDown(int hole)
{
    int child;
    //先保存array[hole]的值
    Comparable temp = array[hole];

    for(; hole * 2 <= currentSize; hole = child){
        child = hole * 2;

        //child != currentSize,表明此时空穴有右儿子
        //array[child] > array[child+1] 表明此时空穴有右儿子小于左儿子
        if(child != currentSize && array[child] > array[child+1])
            child++;//此时child表示为空穴的右儿子

        //空穴的右儿子小于array[hole]
        if(array[child] < temp)
            array[hole] = array[child];
        else
            break;
    }

    array[hole] = temp;
}

以下是main函数，主要是对散列表类进行測试。

//測试主函数
int main()
{
    srand(unsigned(time(0)));
    BinaryHeap<int> binaryHeap;

    vector<int> v;

    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        v.push_back(rand() % 10);
    cout << "v: ";
    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        cout << v[i] << " ";
    cout << endl;

    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        binaryHeap.insert(v[i]);

    binaryHeap.print();

    for(int i = 0; i < 12; i++){
        int minVal = 0;
        binaryHeap.deleteMin(minVal);
        cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
        binaryHeap.print();
    }

    cout << "*****************************************" << endl;
    cout << "測试第二个构造函数: " << endl;
    BinaryHeap<int> binaryHeap2(v);
    binaryHeap2.print();

    for(int i = 0; i < 12; i++){
        int minVal = 0;
        binaryHeap2.deleteMin(minVal);
        cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
        binaryHeap2.print();
    }

    return 0;
}

以下是二叉堆类的源码：

/*************************************************************************
	> File Name: binaryHeap.cpp
	> Author:
	> Mail:
	> Created Time: 2016年04月14日 星期四 11时37分43秒
 ************************************************************************/

#include <iostream>
#include <vector>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

/******************************************
*   类的名称：二叉堆
******************************************/

template<typename Comparable>
class BinaryHeap
{
    public:
        explicit BinaryHeap(int capacity = 100):array(capacity), currentSize(0){}
        explicit BinaryHeap(const vector<Comparable> & items);

        bool isEmpty() const;//推断二叉堆是否为空
        const Comparable & findMin() const;//查找最小元素

        void insert(const Comparable & x);//插入元素x
        void deleteMin();//删除最小元素
        void deleteMin(Comparable & minItem);//删除最小元素。并以引用的方式返回该最小元素
        void makeEmpty();//清空该二叉堆
        void print() const;//打印该堆元素

    private:
        vector<Comparable> array;//存储二叉堆的节点
        int currentSize;//当前二叉堆中的节点数目
    private:
        void buildHeap();//将元素移动到合适的位置
        void percolateDown(int hole);//下移动
};

/****************************************************************
*   函数名称：print() const
*   功能描写叙述: 打印该堆元素
*   參数列表: 无
*   返回结果：无
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::print() const
{
    cout << "二叉堆的元素: " << endl;
    for(int i = 1; i <= currentSize; ++i)
        cout << array[i] << " ";
    cout << endl;
}

/****************************************************************
*   函数名称：BinaryHeap(const vector<Comparable> & items)
*   功能描写叙述: 构造函数
*   參数列表: items 是构造二叉堆须要的数据
*   返回结果：无
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
BinaryHeap<Comparable>::BinaryHeap(const vector<Comparable> & items):array(items.size()+10), currentSize(items.size())
{
    for(unsigned i = 0; i < items.size(); ++i)
        array[i+1] = items[i];

    buildHeap();
}
/****************************************************************
*   函数名称：buildHeap()
*   功能描写叙述: 将元素移动到合适的位置，满足堆序
*   參数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::buildHeap()
{
    for(int i = currentSize / 2; i > 0; --i)
        percolateDown(i);
}

/****************************************************************
*   函数名称：findMin()
*   功能描写叙述: 查找最小元素
*   參数列表: 无
*   返回结果：返回最小元素的引用
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
const Comparable & BinaryHeap<Comparable>::findMin() const
{
   return array[1];
}

/****************************************************************
*   函数名称：insert(const Comparable & x)
*   功能描写叙述: 删除最小元素
*   參数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::insert(const Comparable & x)
{
    if(currentSize == array.size()-1)
        array.resize(2 * array.size());//扩大堆中数组的容量

    //获得空穴的位置
    int hole = ++currentSize;

    //上滤
    for(; hole > 1 && x < array[hole/2]; hole /= 2)
        array[hole] = array[hole/2];
    //将x插入到合适的位置
    array[hole] = x;
}

/****************************************************************
*   函数名称：deleteMin()
*   功能描写叙述: 删除最小元素
*   參数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::deleteMin()
{
    if(isEmpty()){
        cout << "BinaryHeap is empty." << endl;
        return;
    }

    array[1] = array[currentSize];//将最后一个元素移动到最小元素的位置
    currentSize--;//元素总数减去1
    //将最后一个元素移动到合适的位置
    percolateDown(1);
}

/****************************************************************
*   函数名称：percolateDown(int hole)
*   功能描写叙述: 将array(hole)处的值向下移动
*   參数列表: hole为堆中元素的位置标号
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::percolateDown(int hole)
{
    int child;
    //先保存array[hole]的值
    Comparable temp = array[hole];

    for(; hole * 2 <= currentSize; hole = child){
        child = hole * 2;

        //child != currentSize,表明此时空穴有右儿子
        //array[child] > array[child+1] 表明此时空穴有右儿子小于左儿子
        if(child != currentSize && array[child] > array[child+1])
            child++;//此时child表示为空穴的右儿子

        //空穴的右儿子小于array[hole]
        if(array[child] < temp)
            array[hole] = array[child];
        else
            break;
    }

    array[hole] = temp;
}
/****************************************************************
*   函数名称：deleteMin(Comparable & minItem)
*   功能描写叙述: 删除最小元素
*   參数列表: minItem 将最小元素赋值给引用minItem
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::deleteMin(Comparable & minItem)
{
    if(isEmpty()){
        cout << "binaryHeap is empty." << endl;
        return;
    }

    minItem = array[1];

    array[1] = array[currentSize--];
    percolateDown(1);
}

/****************************************************************
*   函数名称：makeEmpty()
*   功能描写叙述: 情况二叉堆
*   參数列表: 无
*   返回结果：void
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
void BinaryHeap<Comparable>::makeEmpty()
{
    currentSize = 0;
}

/****************************************************************
*   函数名称：isEmpty()
*   功能描写叙述: 推断二叉堆是否为空
*   參数列表: 无
*   返回结果：假设为空，则返回true。否则返回false
*****************************************************************/
template<typename Comparable>
bool BinaryHeap<Comparable>::isEmpty() const
{
    return currentSize == 0;
}

//測试主函数
int main()
{
    srand(unsigned(time(0)));
    BinaryHeap<int> binaryHeap;

    vector<int> v;

    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        v.push_back(rand() % 10);
    cout << "v: ";
    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        cout << v[i] << " ";
    cout << endl;

    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        binaryHeap.insert(v[i]);

    binaryHeap.print();

    for(int i = 0; i < 12; i++){
        int minVal = 0;
        binaryHeap.deleteMin(minVal);
        cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
        binaryHeap.print();
    }

    cout << "*****************************************" << endl;
    cout << "測试第二个构造函数: " << endl;
    BinaryHeap<int> binaryHeap2(v);
    binaryHeap2.print();

    for(int i = 0; i < 12; i++){
        int minVal = 0;
        binaryHeap2.deleteMin(minVal);
        cout << "删除最小元素："  << minVal << endl;
        binaryHeap2.print();
    }

    return 0;
}

以下是程序的执行结果：

v: 5 3 8 4 3 6 1 5 4 5
二叉堆的元素:
1 3 3 4 4 8 6 5 5 5
删除最小元素：1
二叉堆的元素:
3 4 3 5 4 8 6 5 5
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
3 4 5 5 4 8 6 5
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
4 4 5 5 5 8 6
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
4 5 5 6 5 8
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
5 5 5 6 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 5 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
6 8
删除最小元素：6
二叉堆的元素:
8
删除最小元素：8
二叉堆的元素: 

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素: 

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素: 

*****************************************
測试第二个构造函数:
二叉堆的元素:
1 3 5 4 3 6 8 5 4 5
删除最小元素：1
二叉堆的元素:
3 3 5 4 5 6 8 5 4
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
3 4 5 4 5 6 8 5
删除最小元素：3
二叉堆的元素:
4 4 5 5 5 6 8
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
4 5 5 8 5 6
删除最小元素：4
二叉堆的元素:
5 5 5 8 6
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 5 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
5 6 8
删除最小元素：5
二叉堆的元素:
6 8
删除最小元素：6
二叉堆的元素:
8
删除最小元素：8
二叉堆的元素: 

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素: 

binaryHeap is empty.
删除最小元素：0
二叉堆的元素: