JZOJ5371 组合数问题

Description

定义＂组合数＂S(n,m)代表将n 个不同的元素拆分成m 个非空集合的方案数．

举个例子，将{1,2,3}拆分成2 个集合有({1},{2,3}),({2},{1,3}),({3},{1,2})三种拆分方法．

小猫想知道，如果给定n,m 和k,对于所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少对(i,j),满足S(i,j)是k 的倍数．

注意，0 也是k 的倍数,S(0,0)=1,对于i>=1,S(i,0)=0．

Input

第一行有两个整数t,k,t 代表该测试点总共有多少组测试数据.接下来t 行,每行两个整数n,m.

Output

t 行,每行一个整数代表所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少对(i,j),满足S(i,j)是k 的倍数.

Sample Input

输入1：

1 2

3 3

输入2：

2 5

4 5

6 7

Sample Output

输出1：

3

样例说明1：S(1,0),S(2,0),S(3,0)均是2 的倍数

输出2：

4

12

Hint

Data Constraint

对于20%的数据,满足n,m<=7,k<=5

对于60%的数据,满足n,m<=100,k<=10

对于每个子任务,都有50%的数据满足t=1

对于100%的数据,满足1<=n<=2000,1<=m<=2000,2<=k<=21,1<=t<=10000

666实力模仿NOIP,,,我那个时候不会杨辉三角QwQ

因为集合是无序的,所以可以推出S的转移方程:

\(S[i][j]=S[i-1][j]*j+S[i-1][j-1]\)

也就是第i个元素可以新开一个集合单独放,也可以放在以前开的一个集合中.

剩下的和NOIP一毛一样.

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// Fei Fan Ya Xi Lie~~~
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define il inline
#define rg register
#define vd void
typedef long long ll;
il int gi(){
	rg int x=0,f=1;rg char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
int S[2001][2001],B[2001][2001];
int main(){
// 	freopen("2583.in","r",stdin);
// 	freopen("2583.out","w",stdout);
	S[0][0]=1;
	int T=gi(),k=gi();
	for(rg int i=1;i<2001;++i){
		for(rg int j=1;j<=i;++j)
			S[i][j]=(S[i-1][j]*j+S[i-1][j-1])%k;
	}
	B[0][0]=S[0][0]%k==0;
	for(rg int i=1;i<2001;++i){
		B[i][0]=B[i-1][0]+(S[i][0]%k==0);
		for(rg int j=1;j<=i;++j)
			B[i][j]=B[i-1][j]+B[i][j-1]-B[i-1][j-1]+(S[i][j]%k==0);
		for(rg int j=i+1;j<2001;++j)B[i][j]=B[i][j-1];
	}
	int i,j;
	while(T--){
		i=gi(),j=gi();
		printf("%d\n",B[i][j]);
	}
	return 0;
}