【BZOJ2813】奇妙的Fibonacci

Description

　　

　　Fibonacci数列是这样一个数列：

　　

　　F1 = 1， F2 = 1， F3 = 2 . . .

　　

　　Fi = Fi-1 + Fi-2 (当 i >= 3)

　　

　　pty忽然对这个古老的数列产生了浓厚的兴趣，他想知道：对于某一个Fibonacci数Fi，

　　

　　有多少个Fj能够整除Fi (i可以等于j)，他还想知道所有j的平方之和是多少。

　　

Input

　　

　　第一行一个整数Q,表示Q个询问。

　　

　　第二行四个整数:Q1, A, B, C

　　

　　第i个询问Qi = (Qi-1 * A + B) mod C + 1(当i >= 2)

　　

Output

　　

　　Ai代表第i个询问有多少个Fj能够整除FQi。

　　

　　Bi代表第i个询问所有j的平方之和。

　　

　　输出包括两行：

　　

　　第一行是所有的Ai之和。

　　

　　第二行是所有的Bi之和。

　　

　　由于答案过大，只需要输出除以1000000007得到的余数即可。

　　

Sample Input

　　

　　2

　　2 2 1 8

　　

Sample Output

　　

　　6

　　55

　　

HINT

　　

　　对于100%的数据保证：$，，，，Q \le 3*10^6，C \le10^7，A \le10^7，B \le10^7，1 \le Q1\le C $

　　

　　

　　

Solution

　　

　　首先还是要找规律。发现$f_j|f_i\Leftrightarrow j|i$。

　　

　　对于任意一个质数$p$，我们在模$f_p$的意义下观察一些斐波那契数列：

\[\begin{bmatrix}
f_1&f_2&f_3&...&f_{p-1}&0&f_{p-1}&f_{p-1}&2f_{p-1}&...\\
f_1&f_2&f_3&...&f_{p-1}&0&f_{p-1}f_1&f_{p-1}f_2&f_{p-1}f_3&...&f_{p-1}f_{p-1}&0&f_{p-1}^2f_1...
\end{bmatrix}
\]

　　斐波那契数列会每$p$项分成一段，其中第$i$段是$f_{p-1}^{i-1}f_{1..p}$。

　　

　　由于$f_{p-1}$与$f_p$互质，因此$f_{p-1}^{i-1}$都与$f_p$互质。既然第一段只能在第$p$项，也就是该段最后一项取0，那么之后的每一段都只能在最后一项取0.

　　

　　也就是说$f_p$整除哪一些$f_i$呢？恰好是那些$p|i$的$f_i$。

　　

　　那么对于任意整数$j$，$f_j$整除哪一些$f_i$呢？把$j$质因数分解$j=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_m^{q_m}$，可知$f_{p_k}|f_j$（$k\in[1,m]$）。当且仅当$f_{p_k}|f_i$（$k\in[1,m]$）时，有$f_j|f_i$，而此时$p_k|i$（$k\in[1,m]$）。

　　

　　故证毕：对于任意正整数$i$和$j$，有$f_j|f_i\Leftrightarrow j|i$。

　　

　　所以本题相当于询问$q$的因数个数、因数平方和，是线性筛的基本应用。因数平方和的表达式是

\[\sigma(x)^2=\prod_{i=1}^m(\sum_{j=0}^{q_i}p_i^{2j})
\]

　　记录每个数的最小质因子的幂、除尽最小质因子的数$nop$就可以计算了。我第一次写的代码使用了快速幂计算$i\%p==0$时的累加，然而不必要，对$\sigma^2(i)$乘上$p^2$就可以把最小质因子处的$\sum$整体偏移，括号里需要加上的1，対整体加上$\sigma^2(nop[i])$即可。

　　

　　注意回答询问时，不可直接输出上述统计的东西。$f_2=1$非常特殊，当询问$q$为偶数时，因为$2|q$，所以2会被统计到，且2本来就需要统计，因为$f_2|f_q$是合法的的。但是当询问$q$为奇数时，$2\nmid q$，所以2未被统计，但从原题意义上看，依然有$f_2|f_q$，2应该被统计。所以$q$是奇数时，第一问要加上1，第二问要加上4（$2^2=4$）。

　　

　　我脑残，都加上了1，居然还有50......说明那些数据模数神奇，询问都是偶数。

　　

　　　　

　　

Code

#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=10000001,MOD=1e9+7;

bool vis[N];

int p[N],pcnt,sigma0[N],minpq[N];

ll nop[N],sigma2[N];

ll ans1,ans2;

void sieve(){

	sigma0[1]=1; sigma2[1]=1;

	for(int i=2;i<N;i++){

		if(!vis[i]){

			p[++pcnt]=i;

			sigma0[i]=2;

			sigma2[i]=(1LL*i*i+1)%MOD;

			minpq[i]=1;

			nop[i]=1;

		}

		for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<N;j++){

			int x=i*p[j];

			vis[x]=true;

			if(i%p[j]==0){

				minpq[x]=minpq[i]+1;

				nop[x]=nop[i];

				sigma0[x]=sigma0[i]/(minpq[i]+1)*(minpq[x]+1);

				sigma2[x]=(sigma2[i]*(1LL*p[j]*p[j]%MOD)%MOD+sigma2[nop[i]])%MOD;

				break;

			}

			sigma0[x]=sigma0[i]*sigma0[p[j]];

			sigma2[x]=sigma2[i]*sigma2[p[j]]%MOD;

			minpq[x]=1;

			nop[x]=i;

		}

	}

}

int main(){

	sieve();

	int n,q,qlast=0,a,b,c;

	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&q,&a,&b,&c);

	for(int i=1;i<=n;i++){

		if(i>1) q=(1LL*qlast*a+b)%c+1;

		qlast=q;

		ans1+=sigma0[q]+(q&1);

		(ans2+=sigma2[q]+4*(q&1))%=MOD;

	}

	printf("%lld\n%lld\n",ans1,ans2);

	return 0;

}