【OI备忘录】trick汇总帖

OI中的那些实用的小trick

在OI中，我们时常会用到一些小技巧，无论是代码方面还是数学方面抑或是卡常，都有很多不错的小技巧。

鄙人不才，往往没办法想出来，于是就有了这篇汇总帖~

如有疏漏，还请dalao指教！

1. 结论：\(gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]\)，其中F为斐波那契数列

   \(\quad\)证明：

   　　我们设\(n<m\)，\(F[n]=a\)和\(F[n+1]=b\)。

   　　则\(F[n+2]=a+b,F[n+3]=a+2b,…F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b\)

   　　\(\because \quad F[n]=a,F[n+1]=b,F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b\)

   　　\(\therefore \quad F[m]=F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]\)

   　　又\(\because \quad gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n-1]\)

   　　而\(F[n]|F[m-n-1]\)

   　　\(\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]\)

   　　引理：\(gcd(F[n],F[n+1])=1\)

   　　　证：由欧几里德定理知

   　　　　　\(gcd(F[n],F[n+1])=gcd(F[n],F[n+1]-F[n])=gcd(F[n],F[n-1])\)

   　　　　　　　　　　　　\(=gcd(F[n-2],F[n-1])\)

   　　　　　　　　　　　　\(…………\)

   　　　　　　　　　　　　\(=gcd(F[1],F[2])=1\)

   　　　　$ \therefore \quad gcd(F[n],F[n+1])=1$

   　　由引理知：

   　　\(F[n],F[n+1]\)互质

   　　而\(gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])\)

   　　\(\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n])\)

   　　即\(gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m\;mod\;n])\)

   　　继续递归，将\(m1=m\;mod\;n\)，则\(gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n\;mod\;m1],F[m1])\)

   　　\(……\)

   　　不难发现，整个递归过程其实就是在求解\(gcd(n,m)\)

   　　最后递归到出现\(F[0]\)时，此时的\(F[n]\)就是所求gcd。

   　　\(\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]\)

2. 分层图

   \(\quad\)分层图是一种常见的图论技巧。常用于图中存在某些限制的情况。具体而言，就是建图时将图按照不同的限制条件分层几层，其间有一些有向边连接，这些有向边一般代表着当前限制条件的状态的改变。这个技巧可以省掉很多特判或者别的的麻烦事，你只用在建好的图上做一般操作就可以了。

不间断更新~