勾股数组及其应用uva106

勾股数组

设三元组(a,b,c)满足a^2 + b^2 = c^2的勾股数组，那么是否存在无穷多个勾股数组呢，

答案是肯定的，将三元组乘以d，可以得到新的三元组(da,db,dc) 即(da)^2 + (db)^2 = (dc)^2 --> (a^2+b^2) * d^2 =c^2 * d^2

d的取值是任意的，所以存在多个勾股数组

本源勾股数组

本源勾股数组是一个三元组(a,b,c),其中a,b,c只存在公因数1，且满足a^2 + b^2 = c^2

积累数据：下面的一些本源勾股数组

　(3,4,5), (5,12,13) ,(8,15,17),(7,24,25)

　(20,21,29),(9,40,41),(12,35,37),(11,60,61)

分析数据：

由这些数据可以推断出可能存在一个结论，即a,b的奇偶性不同，且c总是奇数

证明：如果a,b都是偶数，那么c肯定也是偶数，那么a,b,c存在公因子2，所以三元组不是本源的

　　如果a,b都是奇数， 那么c必然是偶数。 设a=2*x+1, b=2*y+1,c=2*z将其带入a^2 + b^2 = c^2

　　得到(2x+1)^2 + (2y+1)^2 = (2z)^2 --> 4x^2+4x+4y^2+4y+2=4z^2 -->  2x^2+2x+2y^2+2y+1=2z^2

　　式子的左边是一个奇数，而右边是偶数，所以上述假设不成立

　　所以a,b一个是偶数，一个是奇数，从而c是奇数

　　

怎么快速得到一定范围内的本源勾股数组

(a,b,c)是本源勾股数组， 且a是奇数 ，b是偶数，c是奇数，那么可以进行因式分解，

a^2 = c^2 - b^2 = (c-b)(c+b)

3^2 = (5-4)(5+4) = 1 * 9

15^2 = (17-8)(17+8) = 9 * 25

32^2 = (37-12)(37+12) = 25 * 49

好像c-b与c+b总是平方数，

证明：假设(c-b)%d==0 && (c+b)%d==0, 那么根据模的性质，有(c+b)+(c-b) = 2c, 2c%d==0, 且(c+b)-(c-b)=2b,2b%d==0,

　　即d整除2b和2c, 因为b和c没有公因数，所以d只能是1或者2， 由(c+b)(c-b)=a^2 也是d的倍数，且a是奇数，所以a^2是奇数，所以d只能取值1

　　所以(c-b)与(c+b)互素，且(c-b)(c+b)=a^2, 即(c-b)与(c+b)的和是平方数，这种情况只有在(c-b)与(c+b)本身都是平方数的时候才出现

如图：

　　

因为(c-b)与（c+b)互素，所以pi 与qi肯定是不相同的，但是(c-b)(c+b)=a^2， 所以指数ai ,bi肯定是偶数的，所以(c+b) 和 (c-b)本身都是平方数

　　设c+b=s^2,c-b=t^2, 其中s>t>=1是没有公因数的奇数

　　解方程得 

uva106

给我们一定n，要我们求1->n内有多少个本源勾股数组， 和多少个不属于勾股数组的数字

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <string>
 #include <math.h>
 using namespace std;
 #pragma warning(disable:4996)
 typedef long long LL;
 const int INF = <<;
 /*

 */
 bool vis[ + ];
 int ans1[ + ];
 int gcd(int a, int b)
 {
     if (b == )
         return a;
     return gcd(b, a%b);
 }
 int main()
 {
     int s, t, a, b, c;
     int cnt = , n;
     while (scanf("%d", &n) != EOF)
     {
         cnt = ;
         memset(ans1, , sizeof(ans1));
         memset(vis, , sizeof(vis));
         int m = sqrt(*n);
         for (s = ; s <= m; s += )
         {
             for (t = ; t < s; t += )
             {
                 if (gcd(s, t) != ) continue;
                 a = s * t;
                 b = (s*s - t*t) / ;
                 c = (s*s + t*t) / ;
                 if (c>n) break;
                 if ((LL)a*a + (LL)b*b == (LL)c*c)
                 {
                     //printf("%d %d %d\n", a, b, c);
                     ans1[c]++;
                     for (int i = a, j = b, k = c; k <= n; i += a, j += b, k += c)
                         vis[i] = vis[j] = vis[k] = true;
                 }
                 else if ((LL)a*a + (LL)b*b < (LL)c*c)
                     break;
             }
         }

         for (int i = ; i <= n; ++i)
         {
             ans1[i] += ans1[i - ];
             if (!vis[i])
                 cnt++;
         }
         printf("%d %d\n", ans1[n], cnt);
     }
     return ;
 }