MATLAB的符号运算基础

在数学运算中，运算的结果如果是一个数值，可以称这类运算为数值运算；如果运算结果为表达式，在MATLAB中称为符号运算，符号计算是对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(SymbolicMath Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。

(一)  符号变量建立符号变量和符号常数

建立符号变量的方法有两种，应用，应用sym与syms函数，通常应用sym建立符号表达式，应用syms同时定义多个符号变量。

(1)函数：sym

 功能：用来建立单个符号量

 语法形式：sym（‘表达式或变量’）

 举例：

1. a = sym('a');     %定义符号变量a,下同
   b = sym('b')
   c = sym('c')
   d = sym('d')  %至此定义了4个符号变量
   w = 10;x = 5;y = -8;z = 11;  
   
   A = [a,b;c,d] %建立符号矩阵A
   B = [w,x;y,z] %建立数值矩阵B
   C = det(A); %计算符号矩阵A的行列式
   D = det(B); %建立数值矩阵B的行列式  

由上述结果我们不难看出，在符号运算中是以表达式形式呈现结果的，而在数值运算中是以数值表示结果的。

(2)函数：syms

 功能：定义多个符号变量

 语法：syms Var1 Var2 ……Varn

 说明：函数定义符号变量var1，var2，……，Varn等。在用这种格式定义符号变量时无需在变量名上加字符分解符（‘’），变量间用空格而不要用逗号分隔，要用空格来分隔。

例2：应用syms函数定义符号变量

1. syms x y %同时定义x，y为符号变量
   A = [sin(x) sin(y);cos(x) cos(y)]

(二)基本的符号运算

1基本符号运算函数

在MATLAB中,有很多应用于符号运算的函数，常用的函数如下表所示：

函数名	功能	用法举例
sym	字符串或数值到符号的切换	sym(‘a+b’)
expand	展开	syms  x s = (-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2); expand(s) collect(s,x) factor(ans) g = simple(ans)
collect	合并同类项
factor	因式分解
simplify simple	化简
sym2poly(S)	转化S为多项式系数向量	syms x;f=’2*x^2+3*x-5’; n = sym2poly(f) poly2sym(n)
poly2sym(c)	转换多项式系数向量c为符号多项式

2符号表达式运算

（1）符号表达式的四则运算

1. syms x y z; %定义x,y,z为符号变量
   f1 = 2*x+x^2*x-5*x+x^3
   f2 = 2*x/(5*x)
   f3 = (x+y)*(x-y)</span>  

 (2)因式分解与多项式展开

函数1:factor

功能：分解因式

语法：factor(s)

说明：s是符号表达式或符号矩阵

函数2：collect

功能：合并同类项

语法：collect(s)

collect(s,x)

说明：对s按符号变量x进行同类项合并，s是符号表达式或符号矩阵。

举例：对表达式因式分解

f = sym('2*(x-1)/(x^2+2*x-3)'); %输入表达式

F = factor(f) %对符号表达式f进行因式分解

f = sym('2*(x-1)/(x^2+2*x-3)'); %输入表达式

1. F = factor(f)  %对符号表达式f进行因式分解</span>

（3）表达式化简

MATLAB提供的对符号表达式化简函数为simplify。

函数：simplify

功能：对表达式进行化简

语法：simplfy(S)

f=cos(x)^2+sin(x)^2

simplify(f)  

  注：simplify和simple是Matlab符号数学工具箱提供的两个简化函数，区别如下：

simplify的调用格式为：simplify(S)；对表达式S进行化简。
simple是通过对表达式尝试多种不同的方法（包括simplify）进行化简，以寻求符号表达式S的最简形式。
调用方式为：
[r,how]=simple(S);r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的一种方法。how有以下几种形式：
（1）simplify 函数对表达式进行化简；
（2）radsimp函数对含根式的表达式进行化简；
（3）combine 函数将表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并；
（4）collet合并同类项
（5）factor函数实现因式分解
（6)convert函数完成表达式形式的转换

参考文献

[1] 刘加海，严冰等主编. MATLAB可视化科学计算[M]:浙江: 浙江大学出版社，2014.6

[2] 薛定宇，陈阳泉主编.高等应用数学问题的MATLAB求解[M]:第二版.北京: 清华大学出版社，2015.6