[ 东莞市选 2008 ] GCD&LCM

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\(Description\)

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给出两数的\(GCD\)和\(LCM\)，求合法的两数之差的绝对值最小是多少。

• \(GCD\times LCM\le10^{18}\)

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\(Solution\)

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多解的有趣小水题。

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解法一：求出\(GCD\times LCM\)，我们知道这个就等于两数之积，考虑枚举其中的一个数。

考虑枚举的数一定是\(GCD\)的倍数，所以直接枚举就好，我们只需要处理枚举的数小于另一个数的情况，最后将所有算出来的答案取\(min\) 即可，复杂度 \(\text O(\sqrt{LCM})\)。

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解法二：\(\frac{LCM}{GCD}=\frac A{GCD}\times \frac B{GCD}\)枚举第二个式子左半部分，乘上更新答案。复杂度\(\text O(\sqrt{\frac{LCM}{GCD}})\)

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解法三：还是上面的式子。考虑当\(\frac A{GCD}\)和\(\frac B{GCD}\)最接近的时候产生的差值最小所以直接从\(\sqrt{\frac{LCM}{GCD}}\)处开始枚举第一个遇见的答案一定是最优秀的。

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\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define R register
using namespace std;
typedef long long ll;

ll a,b,ans=900000000000000ll;

inline ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}

int main(){
  scanf("%lld%lld",&a,&b);
  b*=a;
  for(R ll i=a,j;i<=b;i+=a){
    if(b%i!=0) continue;
    j=b/i; if(i>j) break;
    if(gcd(i,j)==a) ans=min(ans,j-i);
  }
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}