bzoj 3456: 城市规划【NTT+多项式求逆】

参考:http://blog.miskcoo.com/2015/05/bzoj-3456

首先推出递推式（上面的blog讲的挺清楚的），大概过程是正难则反，设g为n个点的简单(无重边无自环)无向图数目，显然边数是\( C_{n}^{2} \)，所以\( g(n)=2^{C_{n}{2}} \)，那么f[n]=g[n]-n个点的简单(无重边无自环)无向不连通图数目，后面那部分可以枚举1所在联通块的1点数，当这个块有i个点时，方案数为从n-1个点中选出i-1个（减去点1）* f[i]（这i个点组成无向连通图方案数）*g[n-i]（剩下的点组成无向图的方案数），写成公式就是\( \sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}{i-1}f[i]g[n-i] \)，然后把这两部分相减就得到了递推式：

\[f[n]=g[n]-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}f[i]g[n-i]
\]

\[f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}f[i]2^{C_{n-i}^2}
\]

然后开始大力推式子，目标是推出卷积！

\[f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}f[i]2^{C_{n-i}^2}
\]

\[f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}f[i]2^{C_{n-i}^2}
\]

\[f[n]=2^{C_n^2}-(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{2^{C_{n-i}^2}f[i]}{(i-1)!(n-i)!}
\]

\[f[n]=2^{C_n^2}-(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}
$$看起来有点样子了，然而这是递推式怎么办！
开始等号左右瞎移项
\]

2^{C_n2}-f[n]=(n-1)!\sum_{i=1}^{{n-1}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2}{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}

\[\]

2^{C_n2}=(n-1)!\sum_{i=1}^{{n-1}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2}{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}+f[n]

\[\]

2^{C_n2}=(n-1)!\sum_{i=1}^{{n}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2}{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}

\[\]

\frac{2^{C_n2}}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^{{n}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2}{C_{n-i}^2}}{(n-i)!}

\[\]

a[i]=\frac{f[i]}{(i-1)!},b[i]=\frac{2^{C_{i}2}}{(i)!},c[i]=\frac{2^{C_i2}}{(i-1)!}

\[于是变成了这样的形式：\\( A\*B=C \\)，现在要求的是A，所以把它变形为\\( A=B^{-1}\*C \\)
这里涉及到了多项式求逆元，在这里简述一下（参考：http://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/70212684）：
求\\( A∗G=1(mod\ x^m) \\)
已有B满足\\( A∗B=1(mod\ x^{\frac{m}{2}}) \\)
因为\\( A\∗G=1(mod\ x^{\frac{m}{2}}) \\)
所以\\( (G−B)=0(mod\ x^{\frac{m}{2}}) \\)
两边平方\\( G^2+b^2-2GB=0(mod\ x^{\frac{m}{2}}) , G^2=2GB-b^2(mod\ x^{\frac{m}{2}}) \\)
同乘A得\\( G=2B-AB \\)
然后递归求即可
```cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=300005,mod=1004535809,G=3;
int n,m,a[N],b[N],c[N],nb[N],fac[N],inv[N],fi[N],tmp[N],re[N];
int ksm(int a,int b)
{
int r=1;
while(b)
{
if(b&1)
r=1ll*r*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
b>>=1;
}
return r;
}
void dft(int a[],int lm,int f)
{
int bt=log(lm)/log(2)+0.1;
for(int i=0;i<lm;i++)
{
re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
if(i<re[i])
swap(a[i],a[re[i]]);
}
for(int i=1;i<lm;i<<=1)
{
int wi=ksm(G,(mod-1)/(i<<1));
if(f==-1)
wi=ksm(wi,mod-2);
for(int k=0;k<lm;k+=(i<<1))
{
int w=1,x,y;
for(int j=0;j<i;j++)
{
x=a[k+j];
y=1ll*w*a[i+j+k]%mod;
a[j+k]=((x+y)%mod+mod)%mod;
a[i+j+k]=((x-y)%mod+mod)%mod;
w=1ll*w*wi%mod;
}
}
}
if(f==-1)
{
int ni=ksm(lm,mod-2);
for(int i=0;i<lm;i++)
a[i]=1ll*a[i]*ni%mod;
}//cout<<"???"<<endl;
}
void ni(int a[],int b[],int n)
{
if(n==1)
{//cout<<"OK"<<endl;
b[0]=ksm(a[0],mod-2);
return;
}
ni(a,b,n/2);
memcpy(tmp,a,sizeof(a[0])*n);
memset(tmp+n,0,sizeof(tmp[0])*n);
dft(tmp,n<<1,1);
dft(b,n<<1,1);
for(int i=0;i<(n<<1);i++)
tmp[i]=1ll*b[i]*(2-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
dft(tmp,n<<1,-1);
for(int i=0;i<n;i++)
b[i]=tmp[i];
memset(b+n,0,sizeof(b[0])*n);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
inv[1]=1,fac[0]=fi[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i>1)
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;//cout<<fac[i]<<endl;
fi[i]=1ll*fi[i-1]*inv[i]%mod;
}
for(int i=0;i<=n;i++)
{
int now=ksm(2,1ll*(i-1)*i/2%(mod-1));
b[i]=1ll*now*fi[i]%mod;
if(i>0)
c[i]=1ll*now*fi[i-1]%mod;
}
for(m=1;m<=n;m<<=1);//cout<<bt<<" "<<m<<endl;
ni(b,nb,m);
dft(nb,m<<1,1);
dft(c,m<<1,1);
for(int i=0;i<(m<<1);i++)
a[i]=1ll*nb[i]*c[i]%mod;
dft(a,m<<1,-1);//cout<<fac[n-1]<<endl;
printf("%d\n",1ll*a[n]*fac[n-1]%mod);
return 0;
}
```\]