*AtCoder Regular Contest 096F - Sweet Alchemy

$n \leq 50$的树，每个点有权值，现要选点（可多次选一个点）使点数尽量多，如下限制：选的总权值不超过$C \leq 1e9$；$c_i$表示$i$选的次数，$p_i$表示$i$的父亲，那么$c_{p_i} \leq c_i \leq c_{p_i}+D$，$D \leq 1e9$是给定常数。

看到这种奇怪不等式很讨厌嘛，差分一下，$d_i=c_i-c_{p_i}$，$d_1=c_1$（1是根），$d_i$表示$i$比$p_i$多选多少。这样一来就每个点都要比父亲多，那我的$0 \leq d_i \leq D$就相当于：每次同时把子树$i$的点选一次，不能选超过$D$次。

现在问题：$n$个东西，每个东西有权值$Y_i$（子树大小），有花费$X_i$（子树权值和），除了第一种物品其他都有限制次数$D$，然后要挑东西，问总花费在$C$以内的最大化的权值。

这不是小学生背包题嘛。。诶等等这范围不大对。

$n \leq 50,Y_i \leq 50$，其他可以很大。。。。

好吧。那来看这个新背包题。

依稀记得背包有一种错误的贪心解法：按权值花费比，大的先挑。这样会因为剩余空间的分配不合理导致GG。但从没考虑过它和正确答案的误差。

它之所以错的，就是最优答案里可能去掉了一些看起来好的，选了更多看起来不那么好的。就是说，如果把物品按照性价比从大到小排序，也就是$p<q$时有$Y_p/X_p \geq Y_q/X_q$。然后呢我就可能最优答案$p$少了一点，$q$多了一点。那到底差了多少呢，如果$p$有超过50个没选，$q$选了超过50个，那由于$Y_pX_q \geq Y_qX_p$，我把$X_p$个$q$换成$X_q$个$p$是更好的且花费一样。也就是没有差超过50个。

那我每个物品拿50个出来DP，剩下的贪心不就好了。。现在俩背包，一个把每种东西挑50个（或者D，看大小）个，然后做DP；另一个把剩下东西丢进去，做贪心。

额慢着，第一个背包还是DP不了。。但注意到总权值是$n^3$级别的，可以做一个$n^3*n*log_n$的DP。搞定。