【bzoj2111】[ZJOI2010]Perm 排列计数 dp+Lucas定理

题目描述

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Mogic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Mogic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

输入

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

输出

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,⋯, n的排列中， Mogic排列的个数模 p的值。

样例输入

20 23

样例输出

16

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题解

dp+Lucas定理

题目显然小根堆，考虑怎么求以一个节点为根的方案数。根肯定是最小的节点，剩余$n-1$个数选择左子树大小个作为左子树，其余作为右子树。

设$f[i]$表示以i为根的子树形成小根堆的方案数，那么$f[i]=C_{si[i]-1}^{si[i<<1]}*f[i<<1]*f[i<<1|1]$。

注意处理某子树为空的方案数。

另外本题没有保证$n\le p$，故组合数需要使用Lucas定理求出。

#include <cstdio>
#define N 1000010
typedef long long ll;
ll fac[N] , inv[N] , fin[N] , f[N << 1] , si[N << 1];
int p;
ll choose(int n , int m)
{
	if(n < m) return 0;
	if(n < p && m < p) return fac[n] * fin[m] % p * fin[n - m] % p;
	else return choose(n / p , m / p) * choose(n % p , m % p) % p;
}
int main()
{
	int n , i;
	scanf("%d%d" , &n , &p);
	fac[0] = fac[1] = inv[1] = fin[0] = fin[1] = f[0] = 1;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
	{
		fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
		inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
		fin[i] = fin[i - 1] * inv[i] % p;
	}
	for(i = n ; i ; i -- )
	{
		si[i] = si[i << 1] + si[i << 1 | 1] + 1;
		f[i] = choose(si[i] - 1 , si[i << 1]) * ((i << 1) > n ? 1 : f[i << 1]) % p * ((i << 1 | 1) > n ? 1 : f[i << 1 | 1]) % p;
	}
	printf("%lld\n" , f[1]);
	return 0;
}